Bài 01. Hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Bài 3. Cho hình vuông $$ ABCD $$ . Trên cạnh $$ BC $$ lấy điểm $$ M $$ , trên cạnh $$ CD $$ lấy điểm $$ N. $$ Tia $$ AM $$ cắt đường thẳng $$ CD $$ tại $$ K $$ . Kẻ $$ AI $$ vuông góc với $$ AK $$ cắt điểm $$ CD $$ tại $$ I $$ . Biết $$ \widehat{MAN}=45{}^\circ $$ .

a) Chứng minh rằng $$ NI=NM. $$

b) Cho $$ MN=5,\,\,CN-CM=1. $$ Tính diện tích tam giác $$ AMN. $$

c) Từ điểm $$ O $$ trong tam giác $$ AIK, $$ kẻ $$ OP,\,\,OQ,\,\,OR $$ lần lượt vuông góc với các cạnh $$ IK,\,KA,\,AI. $$ Xác định vị trí điểm $$ O $$ để $$ O{{P}^{2}}+O{{Q}^{2}}+O{{R}^{2}} $$ nhỏ nhất khi $$ O,\,M $$ di động.

Hướng dẫn

a) Ta có $$ AI\bot AK\Rightarrow \widehat{IAK}=90{}^\circ $$ hay $$ \widehat{IAD}+\widehat{DAK}=90{}^\circ \,\,\left( 1 \right) $$

Vì $$ ABCD $$ là hình vuông nên $$ AB\bot AD\Rightarrow \widehat{DAB}=90{}^\circ $$ hay $$ \widehat{DAK}+\widehat{MAB}=90{}^\circ \,\,\,\left( 2 \right) $$

Từ $$ \left( 1 \right) $$ và $$ \left( 2 \right) $$ ta có $$ \widehat{IAD}=\widehat{MAB} $$

Xét hai tam giác vuông $$ \Delta IDA $$ và $$ \Delta MBA $$

Có $$ \widehat{IAD}=\widehat{MAB}\,\,\left( cmt \right) $$

$$ DA=BA $$ (vì $$ ABCD $$ là hình vuông)

Suy ra $$ \Delta IDA=\Delta MBA $$ (cạnh góc vuông – góc nhọn)

Suy ra $$ AI=AM $$ (hai cạnh tương ứng)

Ta lại có $$ \widehat{IAN}=\widehat{IAM}-\widehat{MAN}=90{}^\circ -45{}^\circ =45{}^\circ $$ hay $$ \widehat{IAN}=\widehat{MAN}=45{}^\circ $$ .

Xét $$ \Delta IAN $$ và $$ \Delta MAN $$

Có $$ AI=AM $$

$$ \widehat{IAN}=\widehat{MAN}\,\,\left( cmt \right) $$

$$ AN $$ : cạnh chung

Suy ra $$ \Delta IAN=\Delta MAN $$ (cạnh – góc – cạnh)

Suy ra $$ NI=NM $$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau) (đpcm)

b) Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông $$ CMN $$ ta có: $$ C{{M}^{2}}+C{{N}^{2}}=M{{N}^{2}}={{5}^{2}}=25\,\,\left( 3 \right) $$

Theo giả thiết ta có: $$ CN-CM=1 $$ hay $$ CN=CM+1 $$ thay vào $$ \left( 3 \right) $$ ta được:

$$ C{{M}^{2}}+{{\left( CM+1 \right)}^{2}}=25 $$

$$ C{{M}^{2}}+C{{M}^{2}}+2CM+1=25 $$

$$ C{{M}^{2}}+CM-12=0 $$

$$ \left( CM-3 \right)\left( CM+4 \right)=0 $$

Suy ra $$ CM=3\,\left( TM \right) $$ hoặc $$ CM=-4\,\,\left( KTM \right) $$ (vì $$ CM>0 $$ )

Suy ra $$ CN=3+1=4 $$ .

Gọi cạnh của hình vuông là $$ x\,\,\left( x>0 \right) $$

Suy ra $$ DN=x-4 $$

Mà $$ ID=IN-DN=5-\left( x-4 \right)=9-x. $$

$$ BM=CB-CM=x-3. $$

Mà $$ \Delta IAD=\Delta MAB $$ suy ra $$ ID=BM\Rightarrow 9-x=x-3\Rightarrow x=6\,\,\left( TM \right) $$

Vậy $$ {{S}_{\Delta AMN}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{\Delta ADN}}-{{S}_{\Delta CMN}}-{{S}_{\Delta ABM}}=36-6-6-9=15. $$

c)

Ta có $$ OR\bot AI\,\,\left( gt \right)\Rightarrow \widehat{ORA}=90{}^\circ $$

$$ OQ\bot AK\,\,\left( gt \right)\Rightarrow \widehat{OKA}=90{}^\circ $$

$$ AI\bot AK $$ hay $$ AR\bot AQ $$ (vì $$ R\in AI,\,\,Q\in AK $$ ) hay $$ \widehat{RAQ}=90{}^\circ $$

Tứ giác $$ AROQ $$ có $$ \widehat{ORA}+\widehat{OKA}+\widehat{RAQ}+\widehat{ROQ}=360{}^\circ \Rightarrow \widehat{ROQ}=360{}^\circ -90{}^\circ -90{}^\circ -90{}^\circ =90{}^\circ $$

Suy ra tứ giác $$ AROQ $$ là hình chữ nhật.

Ta có $$ O{{R}^{2}}+O{{Q}^{2}}=R{{Q}^{2}}=A{{O}^{2}} $$ (áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông $$ ROQ $$ )

Gọi $$ S $$ là hình chiếu của $$ O $$ trên $$ AD. $$

Suy ra $$ O{{R}^{2}}+O{{Q}^{2}}=A{{O}^{2}}\ge A{{S}^{2}} $$ và $$ O{{P}^{2}}=D{{S}^{2}} $$

Suy ra $$ O{{R}^{2}}+O{{Q}^{2}}+O{{P}^{2}}\ge A{{S}^{2}}+D{{S}^{2}} $$

Suy ra $$ O{{R}^{2}}+O{{Q}^{2}}+O{{P}^{2}}\ge \frac{2A{{S}^{2}}+2D{{S}^{2}}}{2} $$

$$ O{{R}^{2}}+O{{Q}^{2}}+O{{P}^{2}}\ge \frac{A{{S}^{2}}+2AS\cdot DS+D{{S}^{2}}}{2} $$

$$ O{{R}^{2}}+O{{Q}^{2}}+O{{P}^{2}}\ge \frac{{{\left( AS+DS \right)}^{2}}}{2} $$

Mà $$ AS+DS=AD $$ hay $$ \frac{{{\left( AS+DS \right)}^{2}}}{2}=\frac{A{{D}^{2}}}{2} $$

Dấu bằng xảy ra khi $$ O $$ là trung điểm của $$ AD. $$

Hay $$ O{{P}^{2}}+O{{Q}^{2}}+O{{R}^{2}} $$ nhỏ nhất khi $$ O $$ là trung điểm của $$ AD. $$