Bài 25 trang 52 SGK Toán 9 Tập 2

Bài 25 (trang 52 SGK Toán 9 tập 2): Đối với mỗi phương trình sau, kí hiệu \[{{x}_{1}}\] và \[{{x}_{2}}\]  là hai nghiệm (nếu có). Không giải phương trình, hãy điền vào những chỗ trống (...):

a)  $$ 2{{x}^{2}}-17x+1=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, $$   $$ \Delta =...\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=...\,,\,\,\,\,\,\,\,\,{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=...\,; $$  

b)  $$ 5{{x}^{2}}-x-35=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, $$   $$ \Delta =...\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=...\,,\,\,\,\,\,\,\,\,{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=...\,; $$  

c)  $$ 8{{x}^{2}}-x+1=0\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, $$   $$ \Delta =...\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=...\,,\,\,\,\,\,\,\,\,{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=...\,; $$

d)  $$ 25{{x}^{2}}+10x+1=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, $$   $$ \Delta =...\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=...\,,\,\,\,\,\,\,\,\,{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=....\, $$

Lời giải:

a)   $$ 2{{x}^{2}}-17x+1=0 $$ , có  $$ a=2\,;\,b=-17\,;\,\,c=1 $$  

 $$ \Delta ={{(-17)}^{2}}-4.2.1=281\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{17}{2},\,\,\,\,\,\,\,\,{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{1}{2}. $$  

b)  $$ 5{{x}^{2}}-x-35=0,\, $$  có  $$ a=5\,;\,\,b=-1\,;\,\,c=-35 $$ .

 $$ \Delta ={{(-1)}^{2}}-4.5.(-35)=701\,\,\,,\,\,{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{1}{5}\,,\,\,\,\,\,\,\,\,{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{-35}{5}=-7 $$ .

c)   $$ 8{{x}^{2}}-x+1=0\,,\, $$  có:  $$ a=8\,;\,b=-1\,;\,c=1 $$  

 $$ \Delta ={{(-1)}^{2}}-4.8.1=-31\,<0\, $$

 $$ \Rightarrow  $$  Phương trình vô nghiệm  $$ \Rightarrow  $$  Không tồn tại  $$ {{x}_{1}}\,;\,{{x}_{2}} $$ .

d)  $$ 25{{x}^{2}}+10x+1=0,\, $$  có  $$ a=25\,;\,\,b=10\,;\,c=1 $$  

 $$ \Delta ={{10}^{2}}-4.25.1=0 $$  ,  $$ {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{10}{25}=-\frac{2}{5}\,;\,\,\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{1}{25}. $$  

Bài 26 trang 53 SGK Toán 9 Tập 2

Bài 26 (trang 53 SGK Toán 9 tập 2): Dùng điều kiện \[a+b+c=\] 0 hoặc \[ab+c=0\] để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

a)  $$ 35{{x}^{2}}-37x+2=0\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, $$  b)  $$ 7{{x}^{2}}+500x-507=0 $$  ;

c)  $$ {{x}^{2}}-49x-50=0\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, $$            d)  $$ 4321{{x}^{2}}+21x-4320=0 $$ .

Lời giải:

a)   $$ 35{{x}^{2}}-37x+2=0\,\, $$

Ta có:  $$ a+b+c=35-37+2=0 $$  

 $$ \Rightarrow  $$  Phương trình có hai nghiệm phân biệt:  $$ {{x}_{1}}=1\,;\,\,{{x}_{2}}=\frac{2}{35}. $$  

b)  $$ 7{{x}^{2}}+500x-507=0 $$

Ta có:  $$ a+b+c=7+500-507=0 $$  

 $$ \Rightarrow  $$  Phương trình có hai nghiệm phân biệt:  $$ {{x}_{1}}=1\,;\,\,{{x}_{2}}=-\frac{507}{7} $$  .

c)  $$ {{x}^{2}}-49x-50=0\, $$

Ta có:  $$ a-b+c=1-(-49)-50=0 $$  

 $$ \Rightarrow  $$  Phương trình có hai nghiệm phân biệt:  $$ {{x}_{1}}=-1\,;\,\,{{x}_{2}}=-\frac{-50}{1}=50 $$ .

d)  $$ 4321{{x}^{2}}+21x-4320=0 $$

Ta có:  $$ a-b+c=4321-21+(-4320)=0 $$  

 $$ \Rightarrow  $$  Phương trình có hai nghiệm phân biệt:  $$ {{x}_{1}}=-1\,;\,\,{{x}_{2}}=-\frac{-4320}{4321}=\frac{4320}{4321}. $$  

Bài 27 trang 53 SGK Toán 9 Tập 2

Bài 27 (trang 53 SGK Toán 9 tập 2): Dùng hệ thức Vi-et để tính nhẩm các nghiệm của phương trình.

a)  $$ {{x}^{2}}-7x+12=0\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, $$  b)  $$ {{x}^{2}}+7x+12=0 $$ .

Lời giải:

a)  $$ {{x}^{2}}-7x+12=0\, $$ , có  $$ a=1\,;\,\,b=-7\,;\,c=12 $$  

Theo hệ thức Vi-ét:   $$ \left\{ \begin{align}   & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{-7}{1}=7=3+4 \\  & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{12}{1}=12=3.4 \\ \end{align} \right.\,\,\, $$    $$ \Rightarrow \,\,{{x}_{1}}=3\,;\,\,{{x}_{2}}=4 $$ .

b)  $$ {{x}^{2}}+7x+12=0 $$ , có  $$ a=1\,;\,\,b=7\,\,;\,c=12 $$

 Theo hệ thức Vi-ét:   $$ \left\{ \begin{align}   & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{7}{1}=-7=(-3)+(-4) \\  & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{12}{1}=12=(-3).(-4) \\ \end{align} \right. $$  $$ \Rightarrow \,\,{{x}_{1}}=-3\,;\,\,{{x}_{2}}=-4 $$ .

Bài 28 trang 53 SGK Toán 9 Tập 2

Bài 28 (trang 53 SGK Toán 9 tập 2):  Tìm hai số  $$ u $$  và  $$ v $$   trong mỗi trường hợp sau:

a) \[u+v=32,uv=231\];

b) \[u+v=-8,uv=-105\];

c) \[u+v=2,uv=9\].

Lời giải:

a) \[u+v=32,uv=231\].

Ta có:  $$ {{S}^{2}}-4P={{32}^{2}}-4.231=100>0 $$  

 $$ \Rightarrow \,\,u,\,\,v $$  là nghiệm của phương trình  $$ {{X}^{2}}-32X+231=0 $$  (1)

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  $$ {{X}_{1}}=\frac{32+10}{2}=21\,;\,\,{{X}_{2}}=\frac{32-10}{2}=11 $$  

Vậy  $$ u=21\,;\,v=11 $$  hoặc  $$ u=11\,;\,v=21. $$  

b) \[u+v=-8,uv=-105\]

Ta có:  $$ {{S}^{2}}-4P={{(-8)}^{2}}-4.(-105)=484\,>0 $$  

 $$ \Rightarrow \,\,u,\,\,v $$  là nghiệm của phương trình  $$ {{X}^{2}}+8X-105=0 $$  (2)

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt  $$ {{X}_{1}}=\frac{-8-\sqrt{484}}{2}=-15\,;\,\,\,{{X}_{2}}=\frac{-8+\sqrt{484}}{2}=7 $$ .

Vậy  $$ u=-15\,;\,v=7 $$  hoặc  $$ u=7\,;\,v=-15 $$ .

c)  \[u+v=2,uv=9\]

Ta có:  $$ {{S}^{2}}-4P={{2}^{2}}-4.9=4-36=-32<0 $$  

 $$ \Rightarrow  $$  Không có giá trị nào của  $$ u,\,v $$  thỏa mãn đề bài.

Bài 29 trang 54 SGK Toán 9 tập 2

Bài 29 (trang 54 SGK Toán 9 tập 2): Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau:

a)  $$ 4{{x}^{2}}+2x-5=0\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, $$  b)  $$ 9{{x}^{2}}-12x+4=0 $$  ;

c)  $$ 5{{x}^{2}}+x+2=0\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, $$  d)  $$ 159{{x}^{2}}-2x-1=0. $$  

Lời giải:

a)  $$ 4{{x}^{2}}+2x-5=0\,\,\,\, $$

Ta có:  $$ \Delta '={{1}^{2}}-4(-5)=21\,>0 $$  (hoặc phương trình có  $$ a.c=4.(-5)=-20<0 $$ )

 $$ \Rightarrow  $$  Phương trình có hai nghiệm phân biệt  $$ {{x}_{1}}\,;\,{{x}_{2}} $$ .

Theo hệ thức Vi-ét ta có:  $$ {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}\,\,;\,\,\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{-5}{4}. $$  

b)  $$ 9{{x}^{2}}-12x+4=0 $$  

Ta có:  $$ \Delta '={{(-6)}^{2}}-9.4=0 $$  

 $$ \Rightarrow  $$  Phương trình có nghiệm kép  $$ {{x}_{1}}={{x}_{2}} $$ .

Theo hệ thức Vi-ét ta có:  $$ {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{-12}{9}=\frac{4}{3}\,;\,\,\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{4}{9}.\, $$  

c)  $$ 5{{x}^{2}}+x+2=0 $$

Ta có:  $$ \Delta ={{1}^{2}}-4.5.2=-39<0 $$  

 $$ \Rightarrow  $$  Phương trình vô nghiệm.

d)  $$ 159{{x}^{2}}-2x-1=0 $$

Phương trình có  $$ a.c=159.(-1)=-159<0 $$  nên phương trình có hai nghiệm phân biệt  $$ {{x}_{1}}\,;\,{{x}_{2}} $$ .

Theo hệ thức Vi-ét ta có:  $$ {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{-2}{159}=\frac{2}{159}\,;\,\,\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-\frac{1}{159}. $$  

Bài 30 trang 54 SGK Toán 9 tập 2

Bài 30 (trang 54 SGK Toán 9 tập 2): Tìm giá trị của  $$ m $$  để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo  $$ m $$ .

a)  $$ {{x}^{2}}-2x+m=0\,  \,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, $$  b)  $$ {{x}^{2}}+2(m-1)x+{{m}^{2}}=0 $$ .

Lời giải:

a)  $$ {{x}^{2}}-2x+m=0 $$

Ta có:  $$ \Delta '={{(-1)}^{2}}-m=1-m $$  

Để phương trình có nghiệm thì  $$ \Delta '=1-m\ge 0\Leftrightarrow m\le 1 $$ .

Gọi  $$ {{x}_{1}}\,;\,{{x}_{2}} $$  là hai nghiệm của phương trình.

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $$ {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\,;\,\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}=m $$ .

b)  $$ {{x}^{2}}+2(m-1)x+{{m}^{2}}=0 $$

Ta có:  $$ \Delta '={{(m-1)}^{2}}-1.{{m}^{2}}={{m}^{2}}-2m+1-{{m}^{2}}=-2m+1 $$  

Để phương trình có nghiệm thì  $$ \Delta '=-2m+1\ge 0\Leftrightarrow m\le \frac{1}{2}. $$  

Gọi  $$ {{x}_{1}}\,;\,{{x}_{2}} $$  là hai nghiệm của phương trình.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:  $$ {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2(m-1)\,\,\,;\,\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}} $$ .

Bài 31 trang 54 SGK Toán 9 tập 2

Bài 31 (trang 54 SGK Toán 9 tập 2): Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a)  $$ 1,5{{x}^{2}}-1,6x+0,1=0\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, $$  b)  $$ \sqrt{3}\,{{x}^{2}}-\left( 1-\sqrt{3} \right)x-1=0 $$  ;

c)  $$ \left( 2-\sqrt{3} \right){{x}^{2}}+2\sqrt{3}x-\left( 2+\sqrt{3} \right)=0\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, $$  d)  $$ (m-1){{x}^{2}}-(2m+3)x+m+4=0 $$  với  $$ m\ne 1. $$  

 Lời giải:

a)  $$ 1,5{{x}^{2}}-1,6x+0,1=0 $$

Ta có:  $$ a+b+c=1,5+(-1,6)+0,1=0 $$  

 $$ \Rightarrow  $$  Phương trình có hai nghiệm phân biệt:  $$ {{x}_{1}}=1\,;\,\,{{x}_{2}}=\frac{0,1}{1,5}=\frac{1}{15}. $$  

b)  $$ \sqrt{3}\,{{x}^{2}}-\left( 1-\sqrt{3} \right)x-1=0 $$

Ta có:  $$ a-b+c=\sqrt{3}+1-\sqrt{3}-1=0 $$  

 $$ \Rightarrow  $$  Phương trình có hai nghiệm phân biệt:  $$ {{x}_{1}}=-1\,;\,\,{{x}_{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3} $$ .

c)  $$ \left( 2-\sqrt{3} \right){{x}^{2}}+2\sqrt{3}x-\left( 2+\sqrt{3} \right)=0\,\, $$

Ta có:  $$ a+b+c=2-\sqrt{3}+2\sqrt{3}-\left( 2+\sqrt{3} \right)=0 $$  

 $$ \Rightarrow  $$  Phương trình có hai nghiệm phân biệt:  $$ {{x}_{1}}=1\,;\,\,{{x}_{2}}=\frac{-\left( 2+\sqrt{3} \right)}{2-\sqrt{3}}=\frac{-{{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{2}}}{{{2}^{2}}-{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}=-\left( 7+4\sqrt{3} \right) $$ .

d)  $$ (m-1){{x}^{2}}-(2m+3)x+m+4=0 $$  với  $$ m\ne 1 $$

Ta có:  $$ a+b+c=m-1-(2m+3)+m+4=0 $$  

 $$ \Rightarrow  $$  Phương trình có hai nghiệm phân biệt:  $$ {{x}_{1}}=1\,;\,{{x}_{2}}=\frac{m+4}{m-1}. $$  

Bài 32 trang 54 SGK Toán 9 tập 2

Bài 32 (trang 54 SGK Toán 9 tập 2): Tìm hai số  $$ u $$  và  $$ v $$   trong mỗi trường hợp sau:

a) \[u+v=42\,,\,\,uv=441\];

b) \[u+v=-42\,,\,\,uv=-400\];

c) \[uv=5\,,\,\,uv=24\].

Lời giải:

a)  \[u+v=42\,,\,\,uv=441\]

Ta có:  $$ {{S}^{2}}-4P={{42}^{2}}-4.441=0 $$  

 $$ \Rightarrow \,u,\,\,v $$  là nghiệm của phương trình:  $$ {{X}^{2}}-42X+441=0 $$  (1)

Phương trình (1) có nghiệm kép  $$ {{X}_{1}}={{X}_{2}}=\frac{42}{2}=21. $$  

Vậy  $$ u=v=21. $$  

b) \[u+v=-42\,,\,\,uv=-400\]

Ta có:  $$ {{S}^{2}}-4P={{(-42)}^{2}}-4.(-400)=3364>0 $$  

 $$ \Rightarrow \,u,\,\,v $$  là nghiệm của phương trình:  $$ {{X}^{2}}+42X-400=0 $$  (2)

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt:  $$ {{X}_{1}}=\frac{-42-\sqrt{3364}}{2}=-50 $$ ;  $$ {{X}_{2}}=\frac{-42+\sqrt{3364}}{2}=8 $$ .

Vậy  $$ u=-50\,;\,v=8 $$  hoặc  $$ u=8\,;\,v=-50 $$ .

c) \[uv=5\,,\,\,uv=24\].

Đặt \[\text{w}=-v\] ta có:  $$ u+\text{w}=5\,,\,\,u.\text{w}=-24 $$  

Ta có:  $$ {{S}^{2}}-4P={{5}^{2}}-4.(-24)=121>0 $$  

 $$ \Rightarrow \,\,u,\,\text{w} $$  là nghiệm của phương trình:  $$ {{X}^{2}}-5X-24=0 $$   (3)

Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt:  $$ {{X}_{1}}=\frac{5+\sqrt{121}}{2}=8\,;\,\,{{X}_{2}}=\frac{5-\sqrt{121}}{2}=-3 $$  

Vậy  $$ u=8\,;\,\text{w}=-3 $$  hoặc  $$ u=-3\,;\,\text{w}=8 $$  

 $$ \Rightarrow  $$   $$ u=8\,;\,v=3 $$  hoặc  $$ u=-3\,\,;\,v=-8 $$ .

Bài 33 trang 54 SGK Toán 9 tập 2

Bài 33 (trang 54 SGK Toán 9 tập 2): Chứng tỏ rằng nếu phương trình \[a{{x}^{2}}+bx+c=0\] có nghiệm là có nghiệm là  $$ {{x}_{1}} $$  và  $$ {{x}_{2}} $$  thì tam thức \[a{{x}^{2}}+bx+c\] phân tích được thành nhân tử như sau:

 $$ a{{x}^{2}}+bx+c=a(x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}}) $$ .

Áp dụng. Phân tích đa thức thành nhân tử.

a)  $$ 2{{x}^{2}}-5x+3\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, $$  b)  $$ 3{{x}^{2}}+8x+2 $$ .

Lời giải:

Biến đổi vế phải:

 $$ a(x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}}) $$  $$ =a\left( {{x}^{2}}-x.{{x}_{2}}-{{x}_{1}}x+{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right) $$   $$ =a\left[ {{x}^{2}}-\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)x+{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right] $$ .   (1)

Vì phương trình \[a{{x}^{2}}+bx+c=0\] có nghiệm là có nghiệm là  $$ {{x}_{1}} $$  và  $$ {{x}_{2}} $$  nên theo hệ thức Vi-ét ta có:

 $$ {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}\,\,;\,\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a} $$   (2)

Thay (2) vào (1) ta được: $$ a(x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})=a\left[ {{x}^{2}}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} \right]=a{{x}^{2}}+bx+c $$ .

Vậy  $$ a{{x}^{2}}+bx+c=a(x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}}) $$

Áp dụng.

a)  $$ 2{{x}^{2}}-5x+3\,\,\, $$

Xét phương trình  $$ 2{{x}^{2}}-5x+3\,\,\,=0 $$ có  $$ a+b+c=2-5+3=0 $$  

 $$ \Rightarrow  $$  Phương trình có hai nghiệm phân biệt  $$ {{x}_{1}}=1\,;\,\,{{x}_{2}}=\frac{3}{2}. $$  

Do đó:  $$ 2{{x}^{2}}-5x+3\,\,\,=2\left( x-1 \right)\left( x-\frac{3}{2} \right)=(x-1)(2x-3). $$

b)  $$ 3{{x}^{2}}+8x+2 $$

Xét phương trình  $$ 3{{x}^{2}}+8x+2=0 $$  có  $$ \Delta '={{4}^{2}}-3.2=10>0 $$  

 $$ \Rightarrow  $$  Phương trình có hai nghiệm phân biệt:  $$ {{x}_{1}}=\frac{-\,4-\sqrt{10}}{3}\,;\,\,{{x}_{2}}=\frac{-\,4+\sqrt{10}}{3} $$ .

Do đó:   $$ 3{{x}^{2}}+8x+2=3.\left( x-\frac{-\,4-\sqrt{10}}{3} \right)\left( x-\frac{-\,4+\sqrt{10}}{3} \right) $$  $$ =3\left( x+\frac{4+\sqrt{10}}{3} \right)\left( x+\frac{4-\sqrt{10}}{3} \right) $$ .