Bài 1 trang 68 SGK Toán 9 Tập 2

Bài 1: Góc ở tâm. Số đo cung

Bài 1 (trang 68 SGK Toán 9 tập 2): Kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành một góc ở tâm có số đo là bao nhiêu độ vòa những thời điểm sau:

a) 3 giờ;     b) 5 giờ;     c) 6 giờ;     d) 12 giờ;     e) 20 giờ?

Lời giải

Trên mặt đồng hồ người ta chia thành 12 phần bằng nhau. Góc ở tâm tạo bởi hai kim giữa hai số liền nhau là:

360^o : 12 = 30^o

a) Thời điểm 3 giờ (hình a) thì góc ở tâm có số đo là: 3.30^o = 90^o

b) Thời điểm 5 giờ (hình b) thì góc ở tâm có số đo là: 5. 30^o = 150^o

c) Thời điểm 6 giờ (hình c) thì góc ở tâm có số đo là: 6.30^o = 180^o

d) Thời điểm 12 giờ (hình d) thì góc ở tâm có số đo là: 0^o

e) Thời điểm 20 giờ (hình e) thì góc ở tâm có số đo là: 4.30^o= 120^o

Bài 2 trang 69 SGK Toán 9 Tập 2

Bài 2 (trang 69 SGK Toán 9 tập 2): Cho hai đường thẳng xy và st cắt nhau tại O, trong các góc tạo thành có góc  $$ {{40}^{o}} $$ . Vẽ một đường tròn tâm O. Tính số đo của các góc ở tâm xác định bởi hai trong bốn tia gốc O.

Lời giải

 Ta có:  $$ \widehat{xOs}={{40}^{o}} $$  (theo giả thiết).

 $$ \widehat{tOy}=\widehat{xOs}={{40}^{o}} $$  (đối đỉnh).

 $$ \widehat{xOs}+\widehat{sOy}={{180}^{o}} $$  (kề bù)  $$ \Rightarrow \,\widehat{sOy}={{180}^{o}}-{{40}^{o}}={{140}^{o}} $$ .

 $$ \widehat{xOt}=\widehat{sOy} $$  (đối đỉnh)  $$ \Rightarrow \,\,\widehat{xOt}={{140}^{o}} $$ .

 $$ \widehat{xOy}=\widehat{sOt}={{180}^{o}} $$  (góc bẹt).

Bài 3 trang 69 SGK Toán 9 Tập 2

Bài 1: Góc ở tâm. Số đo cung

Bài 3 (trang 69 SGK Toán 9 tập 2): Trên các hình 5, 6 hãy dùng dụng cụ đo góc để tìm số đo cung AmB.

Từ đó, tính số đo cung AnB tương ứng.

Lời giải

Nối OA, OB.

Đo góc ở tâm  $$ \widehat{AOB} $$  để suy ra số đo  $$ \overset\frown{AmB} $$ .

Khi đó: sđ $$ \overset\frown{AnB}={{360}^{o}}- $$  sđ  $$ \overset\frown{AmB} $$ .

Hình a:   Ta có:  $$ \widehat{AOB}={{125}^{o}} $$   $$ \Rightarrow  $$  sđ $$ \overset\frown{AmB}={{125}^{o}} $$  và sđ $$ \overset\frown{AnB}={{360}^{o}}-{{125}^{o}}={{235}^{o}} $$ .

Hình b:  Ta có:  $$ \widehat{AOB}={{65}^{o}} $$   $$ \Rightarrow  $$  sđ $$ \overset\frown{AmB}={{65}^{o}} $$  và sđ $$ \overset\frown{AnB}={{360}^{o}}-{{65}^{o}}={{295}^{o}} $$ .

Bài 4 trang 69 SGK Toán 9 tập 2

Bài 4 (trang 69 SGK Toán 9 tập 2): Xem hình 7. Tính số đo của góc ở tâm AOB và số đo cung lớn AB.

Lời giải

Xét tam giác AOB có  $$ OA=AT $$  (giả thiết) ;  $$ \widehat{OAT}={{90}^{o}} $$  

 $$ \Rightarrow \,\,\Delta AOB $$  vuông cân tại A.

 $$ \Rightarrow \,\widehat{AOB}={{45}^{o}} $$  

 $$ \Rightarrow  $$  Số đo cung nhỏ AB bằng  $$ {{45}^{o}} $$ ; Số đo cung lớn AB bằng  $$ {{360}^{o}}-{{45}^{o}}={{315}^{o}} $$ .

Bài 5 trang 69 SGK Toán 9 tập 2

Bài 5 (trang 69 SGK Toán 9 tập 2): Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B cắt nhau tại M. Biết   $$ \widehat{AMB}={{35}^{o}} $$ .

a) Tính số đo của góc ở tâm tạo bởi bán kính OA, OB.

b) Tính số đo mỗi cung AB (cung lớn và cung nhỏ).

Lời giải

Vì MA, MB là các tiếp tuyến của đường tròn (O) nên   $$ MA\bot OA\,;\,MB\bot OB $$  

Xét tứ giác OAMB có  $$ \widehat{OAM}=\widehat{OBM}={{90}^{o}}\,;\,\widehat{AMB}={{35}^{o}} $$  

 $$ \Rightarrow \,\widehat{AOB}={{360}^{o}}-{{90}^{o}}-{{90}^{o}}-{{35}^{o}}={{145}^{o}} $$ .

 $$ \Rightarrow  $$  sđ $$ \overset\frown{AmB}={{145}^{o}} $$ ; sđ $$ \overset\frown{AnB}={{360}^{o}}-{{145}^{o}}={{215}^{o}} $$ .  

Bài 6 trang 69 SGK Toán 9 tập 2

Bài 6 (trang 69 SGK Toán 9 tập 2): Cho tam giác đều ABC. Gọi O là tâm của đường tròn đi qua đỉnh A, B, C.

a) Tính số đo các góc ở tâm tạo bởi hai trong ba bán kính OA, OB, OC.

b) Tính số đo các cung tạo bởi hai trong ba điểm A, B, C.

Lời giải

a) Vì  $$ \Delta ABC $$  là tam giác đều nên  $$ \widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}={{60}^{o}} $$ .

Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là giao điểm của ba đường trung trực của ba cạnh và cũng chính là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác đều ABC.

Do đó:  $$ {{\widehat{A}}_{1}}={{\widehat{A}}_{2}}={{\widehat{B}}_{1}}={{\widehat{B}}_{2}}={{\widehat{C}}_{1}}={{\widehat{C}}_{2}}={{30}^{o}} $$ .

Ta có:  $$ \widehat{AOB}={{180}^{o}}-\left( {{\widehat{A}}_{1}}+{{\widehat{B}}_{1}} \right)={{180}^{o}}-\left( {{30}^{o}}+{{30}^{o}} \right)={{120}^{o}} $$ .

Tương tự  $$ \widehat{AOC}=\widehat{BOC}={{120}^{o}} $$ .

b) Vì số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm nên ta có:

 $$ \widehat{AOB}=\widehat{AOC}=\widehat{BOC}={{120}^{o}} $$

 $$ \Rightarrow  $$  sđ cung nhỏ AB = sđ cung nhỏ AC = sđ cung nhỏ BC=  $$ {{120}^{o}} $$  .

 $$ \Rightarrow  $$  sđ cung lớn AB = sđ cung lớn AC = sđ cung lớn BC=  $$ {{360}^{o}}-{{120}^{o}}={{240}^{o}} $$ .

Bài 7 trang 69-70 SGK Toán 9 tập 2

Bài 7 (trang 69-70 SGK Toán 9 tập 2): Cho hai đường tròn cùng tâm O với bán kính khác nhau. Hai đường thẳng đi qua O cắt hai đường tròn đó tại các điểm A, B, C, D, M, N, P, Q (h.8).

a) Em có nhận xét gì về số đo của các cung nhỏ AM, CP, BN, DQ?

b) Hãy nêu tên các cung nhỏ bằng nhau.

c) Hãy nêu tên hai cung lớn bằng nhau.

Lời giải

a) Ta có: sđ  $$ \overset\frown{AM} $$  = sđ  $$ \overset\frown{BN} $$ =  $$ \widehat{AOM} $$  (Vì góc ở tâm bằng số đo cung chắn nó).

sđ  $$ \overset\frown{PC} $$  = sđ  $$ \overset\frown{QD} $$  =  $$ \widehat{QOD} $$  (Vì góc ở tâm bằng số đo cung chắn nó).

Mà  $$ \widehat{AOM}=\widehat{QOD} $$  (đối đỉnh)

 $$ \Rightarrow  $$  sđ  $$ \overset\frown{AM} $$  = sđ  $$ \overset\frown{BN} $$ = sđ  $$ \overset\frown{PC} $$  = sđ  $$ \overset\frown{QD} $$ .

b) Các cung nhỏ bằng nhau:

Trong đường tròn lớn:  $$ \overset\frown{AM}=\overset\frown{QD}\,;\,\,\overset\frown{AQ}=\overset\frown{MD} $$ .

Trong đường tròn nhỏ:  $$ \overset\frown{BN}=\overset\frown{CP}\,\,;\,\overset\frown{BP}=\overset\frown{NC} $$ .

c) Hai cung lớn bằng nhau:

 $$ \overset\frown{AMDQ}=\overset\frown{MAQD} $$ ;  $$ \overset\frown{BNCP}=\overset\frown{NBPC} $$ .

Bài 8 trang 70 SGK Toán 9 tập 2

Bài 8 (trang 70 SGK Toán 9 tập 2): Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai? Vì sao?

a) Hai cung bằng nhau thì số đo bằng nhau.

b) Hai cung có số đo bằng nhau thì bằng nhau.

c) Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn là cung lớn.

d) Trong hai cung trên một đường tròn, cung nào có số đo nhỏ hơn thì nhỏ hơn.

Lời giải

a) Đúng. Do định lí về so sánh hai cung.

b) Sai. Không rõ hai cung có cùng nằm trên một đường tròn hay trên hai đường tròn bằng nhau hay không.

c) Sai. Không rõ hai cung có cùng nằm trên một đường tròn hay trên hai đường tròn bằng nhau hay không.

d) Đúng. Do định lí về so sánh hai cung.

Bài 9 trang 70 SGK Toán 9 tập 2

Bài 9 (trang 70 SGK Toán 9 tập 2): Trên đường tròn tâm O lấy ba điểm A, B, C sao cho $$ \widehat{AOB}={{100}^{o}} $$ , sđ $$ \overset\frown{AC}={{45}^{o}}. $$ Tính số đo của cung nhỏ BC và cung lớn BC. (Xét cả hai trường hợp: điểm C nằm trên cung nhỏ AB, điểm C nằm trên cung lớn AB).

Lời giải

+ Trường hợp 1: Điểm C nằm trên cung nhỏ AB.

Số đo cung nhỏ BC =  $$ \widehat{BOC}=\widehat{AOB}-\widehat{AOC}={{100}^{o}}-{{45}^{o}}={{55}^{o}} $$ .

 Số đo cung lớn BC =  $$ {{360}^{o}}-{{55}^{o}}={{305}^{o}} $$ .

+ Trường hợp 2: Điểm C nằm trên cung lớn AB.

Số đo cung nhỏ BC =  $$ \widehat{BOC}=\widehat{BOA}+\widehat{AOC}={{100}^{o}}+{{45}^{o}}={{145}^{o}} $$ .

Số đo cung lớn BC =  $$ {{360}^{o}}-{{145}^{o}}={{215}^{o}} $$ .