Bài 15 trang 75 SGK Toán 9 Tập 2

Bài 3: Góc nội tiếp

Bài 15 (trang 75 SGK Toán 9 tập 2): Các khẳng định sau đây đúng hay sai?

a) Trong một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

b) Trong một đường tròn, các góc nội tiếp bằng nhau thì cùng chắn một cung.

Lời giải

a) Đúng (theo hệ quả a).

b) Sai. Vì trong một đường tròn có thể có các góc nội tiếp bằng nhau nhưng không cùng chắn một cung.

Bài 16 trang 75 SGK Toán 9 Tập 2

Bài 16 (trang 75 SGK Toán 9 tập 2): Xem hình 19 (hai đường tròn có tâm là B, C và điểm B nằm trên đường tròn tâm C).

a) Biết  $$ \widehat{MAN}={{30}^{o}}, $$  tính  $$ \widehat{PCQ} $$ .

b) Nếu  $$ \widehat{PCQ}={{136}^{o}} $$  thì  $$ \widehat{MAN} $$  có số đo bằng bao nhiêu ?

Lời giải

a) Xét đường tròn (B ; BM) có:

 $$ \widehat{MBN}=2\widehat{MAN}={{2.30}^{o}}={{60}^{o}} $$  (tính chất góc nội tiếp).

Xét đường tròn (C ; CQ) có:

 $$ \widehat{PCQ}=2\widehat{PBQ}=2\widehat{MBN}={{2.60}^{o}}={{120}^{o}} $$  (tính chất góc nội tiếp).

b) Xét đường tròn (C ; CQ) có:

 $$ \widehat{PBQ}=\frac{1}{2}\widehat{PCQ}=\frac{1}{2}{{.136}^{o}}={{68}^{o}} $$ (tính chất góc nội tiếp).

Xét đường tròn (B ; BM) có:

 $$ \widehat{MAN}=\frac{1}{2}\widehat{MBN}=\frac{1}{2}\widehat{PBQ}=\frac{1}{2}{{.68}^{o}}={{34}^{o}} $$  (tính chất góc nội tiếp).

Bài 17 trang 75 SGK Toán 9 Tập 2

Bài 3: Góc nội tiếp

Bài 17 (trang 75 SGK Toán 9 tập 2): Muốn xác định tâm của một đường tròn mà chỉ dùng êke thì phải làm như thế nào?

Lời giải

- Đặt đỉnh góc vuông của êke trùng với điểm M bất kì trên đường tròn. Giả sử đường tròn cắt hai cạnh góc vuông của êke tại A và B. Vẽ đường thẳng AB.

- Làm tương tự, đặt đỉnh góc vuông của êke trùng với điểm N (N ≠ M) bất kì trên đường tròn. Đường tròn cắt hai cạnh góc vuông của êke tại C và D. Vẽ đường thẳng CD.

- AB cắt CD tại tâm O của đường tròn.

Bài 18 trang 75 SGK Toán 9 Tập 2

Bài 18 (trang 75 SGK Toán 9 tập 2): Một huấn luyện viên cho cầu thủ tập sút bóng vào cầu môn PQ. Bóng được đặt ở các vị trí A, B, C trên một cung tròn như hình 20.

Hãy so sánh các góc  $$ \widehat{PAQ}\,,\,\widehat{PBQ}\,,\,\widehat{PCQ} $$ .

Lời giải:

Với các vị trí A, B, C trên cung tròn thì ta được các góc nội tiếp   $$ \widehat{PAQ}\,,\,\widehat{PBQ}\,,\,\widehat{PCQ} $$  cùng chắn cung  $$ PQ $$ .

Do đó:  $$ \widehat{PAQ}\,=\,\widehat{PBQ}\,=\,\widehat{PCQ} $$ .

Bài 19 trang 75 SGK Toán 9 tập 2

Bài 19 (trang 75 SGK Toán 9 tập 2): Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N. Gọi H là giao điểm của BM và AN. Chứng minh rằng SH vuông góc với AB.

Lời giải

Xét đường tròn (O) đường kính AB có  $$ \widehat{ANB} $$  và  $$ \widehat{AMB} $$  là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

 $$ \Rightarrow \,\,\widehat{ANB}=\widehat{AMB}={{90}^{o}} $$  

Khi đó trong tam giác SHB có SM và HN là các đường cao cắt nhau tại A

 $$ \Rightarrow  $$  A là trực tâm của tam giác SHB  $$ \Rightarrow \,\,BA\bot SH $$ .

Bài 20 trang 76 SGK Toán 9 tập 2

Bài 20 (trang 76 SGK Toán 9 tập 2): Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AC và AD của hai đường tròn. Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng.

Lời giải

Xét đường tròn (O) đường kính AC có  $$ \widehat{ABC} $$  là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

 $$ \Rightarrow \,\widehat{ABC}={{90}^{o}} $$ .

Xét đường tròn (O’) đường kính AD có  $$ \widehat{ABD} $$  là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

 $$ \Rightarrow \,\,\widehat{ABD}={{90}^{o}} $$ .

Khi đó:  $$ \widehat{ABC}+\widehat{ABD}={{90}^{o}}+{{90}^{o}}={{180}^{o}} $$  

 $$ \Rightarrow  $$  Ba điểm C, B, D thẳng hàng.

Bài 21 trang 76 SGK Toán 9 tập 2

Bài 21 (trang 76 SGK Toán 9 tập 2): Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ đường thẳng qua A cắt (O) tại M và cắt (O') tại N (A nằm giữa M và N). Hỏi MBN là tam giác gì? Tại sao?

Lời giải

Xét đường tròn (O) có  $$ \widehat{AMB} $$  là góc nội tiếp chắn cung AmB  $$ \Rightarrow \,\,\widehat{AMB}=\frac{1}{2} $$  sđ $$ \overset\frown{AmB} $$ .

Xét đường tròn (O’) có  $$ \widehat{ANB} $$  là góc nội tiếp chắn cung AnB  $$ \Rightarrow \,\,\widehat{ANB}=\frac{1}{2} $$  sđ $$ \overset\frown{AnB} $$ .

Mà  $$ \overset\frown{AmB}=\overset\frown{AnB} $$  (Vì hai cung căng dây AB chung của hai đường tròn bằng nhau)

 $$ \Rightarrow \,\,\widehat{AMB}=\widehat{ANB} $$   $$ \Rightarrow \,\,\Delta MBN $$  cân tại B.

Bài 22 trang 76 SGK Toán 9 tập 2

Bài 22 (trang 76 SGK Toán 9 tập 2): Trên đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M (khác A và B). Vẽ tiếp tuyến của (O) tại A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C. Chứng minh rằng ta luôn có:

\[M{{A}^{2}}=MB.MC\].

Lời giải

Xét đường tròn (O) đường kính AB có  $$ \widehat{AMB} $$  là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn  $$ \Rightarrow \,\widehat{AMB}={{90}^{o}}. $$  

Do AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên  $$ AC\bot AB\,\,\Rightarrow \,\,\widehat{CAB}={{90}^{o}} $$ .

Xét  $$ \Delta AMB $$  và  $$ \Delta AMC $$  có:  $$ \widehat{AMB}=\widehat{AMC}={{90}^{o}}\,; $$   $$ \widehat{MAB}=\widehat{ACM} $$  (Vì cùng phụ với  $$ \widehat{CAM} $$ )

 $$ \Rightarrow \,\,\Delta AMB $$  đồng dạng với  $$ \Delta CMA $$ (g.g)

 $$ \Rightarrow \,\frac{MA}{MC}=\frac{MB}{MA}\,\Rightarrow \,\,M{{A}^{2}}=MB.MC $$  (đpcm).

Bài 23 trang 76 SGK Toán 9 tập 2

Bài 23 (trang 76 SGK Toán 9 tập 2): Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M kẻ hai đường thẳng . Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B. Đường thẳng thứ hai cắt (O) tại C và D. Chứng minh MA.MB = MC.MD.

Hướng dẫn: Xét cả hai trường hợp điểm M nằm bên trong và bên ngoài đường tròn. Trong mỗi trường hợp, xét hai tam giác đồng dạng.

Lời giải

+ Trường hợp 1: Điểm M nằm bên trong đường tròn.

Xét  $$ \Delta AMD $$  và  $$ \Delta CMB $$  có:

 $$ \widehat{DAB}=\widehat{DCB} $$  (góc nội tiếp cùng chắn cung DB) ;  $$ \widehat{AMD}=\widehat{CMB} $$  (đối đỉnh)

 $$ \Rightarrow  $$   $$ \Delta AMD $$  đồng dạng với  $$ \Delta CMB $$ (g.g)  $$ \Rightarrow \,\,\,\frac{AM}{CM}=\frac{MD}{MB}\,\,\,\Rightarrow \,\,AM.MB=CM.MD $$ .

+ Trường hợp 2 Điềm M nằm ngoài đường tròn.

Xét  $$ \Delta AMD $$  và  $$ \Delta CMB $$  có:

 $$ \widehat{M} $$  chung ;  $$ \widehat{ADM}=\widehat{CBM} $$  (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

 $$ \Rightarrow  $$   $$ \Delta AMD $$  đồng dạng với  $$ \Delta CMB $$ (g.g)  $$ \Rightarrow \,\,\,\frac{AM}{CM}=\frac{MD}{MB}\,\,\,\Rightarrow \,\,AM.MB=CM.MD $$ .

Bài 24 trang 76 SGK Toán 9 tập 2

Bài 24 (trang 76 SGK Toán 9 tập 2): Một chiếc cầu được thiết kế như hình 21 có độ dài AB = 40m, chiều cao MK = 3m. Hãy tính bán kính của đường tròn chứa cung AMB.

Lời giải

Chiếc cầu là cung của đường tròn tâm O, bán kính R.

Gọi MM’ là đường kính của đường tròn thì  $$ \widehat{MBM'}={{90}^{o}} $$  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Vì  $$ OM\bot AB $$  tại K nên K là trung điểm của AB  $$ \Rightarrow \,\,KA=KB=\frac{AB}{2}=20cm $$ .

Xét  $$ \Delta MKB $$  và  $$ \Delta BKM' $$  có:

 $$ \widehat{MKB}=\widehat{M'KB}={{90}^{o}} $$  ;  $$ \widehat{MBK}=\widehat{BM'K} $$  (Vì cùng phụ  $$ \widehat{M'BK} $$ )

 $$ \Rightarrow  $$    $$ \Delta MKB $$  đồng dạng với  $$ \Delta BKM' $$  (g.g)

 $$ \Rightarrow \,\,\frac{MK}{BK}=\frac{KB}{KM'}\,\,\Rightarrow \,\,B{{K}^{2}}=MK.KM' $$  

 $$ \Rightarrow \,KM'=\frac{B{{K}^{2}}}{MK}=\frac{{{20}^{2}}}{3}=\frac{400}{3}\,(m) $$ .

Ta có:  $$ MK'=MM'-MK=2R-MK\,\, $$  

 $$ \Rightarrow R=\frac{MK'+MK}{2}=\frac{\frac{400}{3}+3}{2}=\frac{409}{6}\,(m). $$

Bài 25 trang 76 SGK Toán 9 tập 2

Bài 25 (trang 76 SGK Toán 9 tập 2): Dựng một tam giác vuông, biết cạnh huyền dài 4cm và một cạnh góc vuông dài 2,5cm.

Lời giải

Cách vẽ như sau:

- Vẽ đoạn thẳng BC dài 4cm.

- Vẽ nửa đường tròn đường kính BC.

- Vẽ dây AB (hoặc dây CA) dài 2,5cm.

Ta có tam giác thỏa mãn các yêu cầu của đề bài.

Bài 26 trang 76 SGK Toán 9 tập 2

Bài 26 (trang 76 SGK Toán 9 tập 2): Cho AB, BC, CA là ba dây của đường tròn (O). Từ điểm chính giữa M của cung AB vẽ dây MN song song với dây BC.Gọi giao điểm của MN và AC là S. Chứng minh SM = SC và SN = SA.

Lời giải

Ta có:  $$ \overset\frown{MA}=\overset\frown{MB} $$  (theo giả thiết) ;

 $$ \overset\frown{MB}=\overset\frown{NC} $$  (Vì MN // BC)

 $$ \Rightarrow \,\,\overset\frown{MA}=\overset\frown{NC} $$

 $$ \Rightarrow \,\,\widehat{ACM}=\widehat{NMC} $$  (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

 $$ \Rightarrow \,\,\Delta SMC $$  cân tại S  $$ \Rightarrow \,\,SM=SC $$ .

Chứng minh tương tự ta có:  $$ \Delta ASN $$  cân tại S  $$ \Rightarrow \,\,SA=SN. $$