Bài 44 trang 86 SGK Toán 9 Tập 2

Bài 44 (trang 86 SGK Toán 9 tập 2): Cho tam giác ABC vuông ở A, có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi.

Lời giải

Theo tính chất góc ngoài của tam giác, ta có:

 $$ {{\widehat{I}}_{1}}={{\widehat{A}}_{1}}+{{\widehat{B}}_{1}}\,\,;\,\,{{\widehat{I}}_{2}}={{\widehat{A}}_{2}}+{{\widehat{C}}_{1}} $$

 $$ \Rightarrow \,\,{{\widehat{I}}_{1}}+{{\widehat{I}}_{2}}={{\widehat{A}}_{1}}+{{\widehat{B}}_{1}}+{{\widehat{A}}_{2}}+{{\widehat{C}}_{1}} $$   $$ =\left( {{\widehat{A}}_{1}}+{{\widehat{A}}_{2}} \right)+\frac{1}{2}\left( \widehat{B}+\widehat{C} \right)={{90}^{o}}+\frac{1}{2}{{.90}^{o}}={{135}^{o}} $$ .

Khi đó điểm I nhìn đoạn thẳng BC cố định dưới góc  $$ {{135}^{o}} $$  không đổi.

Vậy quỹ tích của I là cung chứa góc 135^o dựng trên đoạn thẳng BC (một cung).

Bài 47 trang 86 SGK Toán 9 Tập 2

Bài 47 (trang 86 SGK Toán 9 tập 2): Gọi cung chứa góc  $$ {{55}^{o}} $$  ở bài tập 46 là cung \[AmB\]. Lấy điểm  $$ {{M}_{1}} $$   nằm bên trong và điểm  $$ {{M}_{2}} $$  nằm bên ngoài đường tròn chứa cung này sao cho \[{{M}_{1}},{{M}_{2}}\] và cung \[AmB\]  nằm cùng một phía đối với đường thẳng  $$ AB $$ . Chứng minh rằng:

a)  $$ \widehat{A{{M}_{1}}B}>{{55}^{o}}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, $$  b)  $$ \widehat{A{{M}_{2}}B}<{{55}^{o}} $$ .

Lời giải

a) Gọi  $$ A',\,B' $$  theo thứ tự là giao điểm của  $$ A{{M}_{1}}\,,\,B{{M}_{1}} $$  với cung tròn.

Vì  $$ \widehat{A{{M}_{1}}B} $$  là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên ta có:

 $$ \widehat{A{{M}_{1}}B}=\frac{1}{2} $$  (sđ $$ \overset\frown{AB}\,+ $$  sđ $$ \overset\frown{A'B'} $$  )  $$ ={{55}^{o}}+ $$  (một số dương)  $$ >{{55}^{o}} $$  

Vậy  $$ \,\widehat{A{{M}_{1}}B}>{{55}^{o}} $$  (đpcm).

b)  Gọi  $$ A',\,B' $$  theo thứ tự là giao điểm của  $$ A{{M}_{2}}\,,\,B{{M}_{2}} $$  với cung tròn.

 Vì  $$ \widehat{A{{M}_{2}}B} $$  là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn nên ta có:

 $$ \widehat{A{{M}_{2}}B}=\frac{1}{2} $$  (sđ $$ \overset\frown{AB}\,- $$  sđ $$ \overset\frown{A'B'} $$  )  $$ ={{55}^{o}}- $$  (một số dương)  \[<{{55}^{o}}\].

 Vậy  $$ \widehat{A{{M}_{2}}B}<{{55}^{o}} $$  (đpcm).

Bài 48 trang 87 SGK Toán 9 Tập 2

Bài 48 (trang 87 SGK Toán 9 tập 2): Cho hai điểm A, B cố định. Từ A vẽ các tiếp tuyến với các đường tròn tâm B có bán kính không lớn hơn AB. Tìm quỹ tích các tiếp điểm.

Lời giải

- Trường hợp các đường tròn tâm B có bán kính nhỏ hơn BA.

Giả sử AT là tiếp tuyến của đường tròn tâm B với T là tiếp điểm.

Khi đó  $$ AT\bot BT\,\,\Rightarrow \,\,\widehat{ATB}={{90}^{o}} $$ .

Như vậy điểm T nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông nên quỹ tích điểm T là đường tròn đường kính AB.

- Trường hợp đường tròn tâm B, có bán kính bằng BA thì điểm A là tiếp điểm của tiếp tuyến tại A với đường tròn, tức là điểm T trùng với A.

Do đó: Quỹ tích điểm T là điểm A.
 

Bài 49 trang 87 SGK Toán 9 Tập 2

Bài 49 (trang 87 SGK Toán 9 tập 2): Dựng tam giác ABC, biết \[BC=6cm\],  $$ \widehat{A}={{40}^{o}} $$  và đường cao \[AH=4cm.\]

Lời giải

Trình tự dựng gồm ba bước:

- Dựng đoạn thẳng \[BC=6cm.\]

- Dựng cung chứa góc \[{{40}^{o}}\] trên đoạn thẳng BC.

- Dựng đường thẳng xy song song với BC và cách BC một khoảng là 4cm như sau: Trên đường trung trực d của đoạn thẳng BC lấy đoạn  $$ MI=4cm $$  (Với I là trung điểm của BC). Qua M dựng đường thẳng xy song song với BC.

Gọi giao điểm của xy và cung chứa góc là A và A'. Khi đó tam giác ABC hoặc A'BC đều thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Bài 50 trang 87 SGK Toán 9 Tập 2

Bài 50 (trang 87 SGK Toán 9 tập 2): Cho đường tròn đường kính AB cố định, M là một điểm chạy trên đường tròn. Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho \[MI=2MB.\]

a) Chứng minh  $$ \widehat{AIB} $$  không đổi.

b) Tìm tập hợp các điểm I nói trên.

Lời giải

a) Vì  $$ \widehat{BAM}={{90}^{o}} $$  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

 $$ \Rightarrow \,\Delta BMI $$  vuông tại M.

Ta có:  $$ tg\widehat{AIB}=\frac{MB}{MI}=\frac{1}{2}\,\,\Rightarrow \,\,\widehat{AIB}\approx {{26}^{o}}34' $$  (không đổi).

b) Phần thuận:

Khi điểm M chuyển động trên đường tròn đường kính AB thì điểm I luôn nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới góc  $$ {{26}^{o}}34' $$  dựng trên đoạn thẳng AB

 $$ \Rightarrow  $$  Quỹ tích điểm M là hai cung chứa góc   $$ {{26}^{o}}34' $$  dựng trên đoạn thẳng AB (hai cung  $$ \overset\frown{AmB} $$  và  $$ \overset\frown{AmB'} $$  ).

Phần đảo:

Lấy điểm I’ bất kì thuộc  $$ \overset\frown{AmB} $$  hoặc  $$ \overset\frown{AmB'} $$ .

Đường thẳng I’A cắt đường tròn đường kính AB tại M’.

Ta có:  $$ \widehat{AM'B}={{90}^{o}} $$   $$ \Rightarrow \,\Delta BM'I $$  vuông tại M’.

Khi đó:  $$ \frac{M'B}{M'I}=tg\widehat{BI'M'}=tg{{26}^{o}}34'=\frac{1}{2}\,\,\Rightarrow \,\,M'I=2M'B $$  .

Kết luận: Quỹ tích điểm I là hai cung  $$ \overset\frown{AmB} $$  và  $$ \overset\frown{AmB'} $$ .

Bài 51 trang 87 SGK Toán 9 Tập 2

Bài 51 (trang 87 SGK Toán 9 tập 2): Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với  $$ \widehat{A}={{60}^{o}} $$ . Gọi H là giao điểm của các đường cao BB'và CC'.

Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.

Lời giải

Ta có:  $$ \widehat{BOC} $$  là góc ở tâm chắn cung BC,  $$ \widehat{BAC} $$  là góc nội tiếp chắn cung BC

 $$ \Rightarrow \,\,\widehat{BOC}=2\widehat{BAC}={{2.60}^{o}}={{120}^{o}} $$ .            (1)

 $$ \widehat{BHC}=\widehat{B'HC'} $$  (đối đỉnh).

Mà  $$ \widehat{B'HC'}={{180}^{o}}-\widehat{A}={{180}^{o}}-{{60}^{o}}={{120}^{o}} $$   $$ \Rightarrow \,\,\widehat{BHC}={{120}^{o}} $$ .  (2)                

Vì BI, CI là các tia phân giác của  $$ \widehat{B} $$  và  $$ \widehat{C} $$  nên  $$ \widehat{IBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}\,;\,\,\widehat{ICB}=\frac{1}{2}\widehat{ACB} $$ .

Khi đó:  $$ \widehat{BIC}={{180}^{o}}-\left( \widehat{IBC}+\widehat{ICB} \right)={{180}^{o}}-\frac{1}{2}\left( \widehat{ABC}+\widehat{ACB} \right) $$

                    $$={{180}^{o}}-\frac{1}{2}\left( {{180}^{o}}-{{60}^{o}} \right)={{120}^{o}} $$ . (3)

Từ (1),(2),(3) ta thấy các điểm O, H, I cùng nằm trên cung chứa góc \[{{120}^{o}}\]  dựng trên đoạn thẳng BC.

Nói cách khác, năm điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn  (đpcm).

Bài 52 trang 87 SGK Toán 9 Tập 2

Bài 52 (trang 87 SGK Toán 9 tập 2): "Góc sút" của quả phạt đền 11 mét là bao nhiêu độ ? Biết rằng chiều rộng cầu môn là 7,32m. Hãy chỉ ra hai vị trí khác trên sân có cùng "góc sút" như quả phạt đền 11 mét.

Lời giải

Gọi vị trí đặt quả bóng để sút phạt đền là M, và bề ngang cầu môn là PQ thì M nằm trên đường trung trực của PQ.

Gọi H là trung điểm của PQ,  $$ \widehat{PMH}=\alpha . $$  

Xét  $$ \Delta MPH $$  vuông tại H, ta có:

 $$ tg\alpha =\frac{PH}{HM}=\frac{\frac{7,32}{2}}{11}=\frac{183}{550}\,\,\Rightarrow \,\,\alpha \approx {{18}^{o}}24' $$ .

Vậy góc sút phạt đền là  $$ 2\alpha \approx {{36}^{o}}48' $$ .

Vẽ cung chứa góc  $$ {{36}^{o}}48' $$   dựng trên đoạn thẳng PQ. Bất kì điểm nào trên cung vừ vẽ cũng có “góc sút” như quả phạt đền 11m.

Bài 46 trang 86 SGK Toán 9 tập 2

Bài 46 (trang 86 SGK Toán 9 tập 2): Dựng một cung chứa góc  $$ {{55}^{o}} $$   trên đoạn thẳng \[AB=3cm.\]

Lời giải

Cách dựng như sau:

- Dựng đoạn thẳng  $$ AB=3\,cm $$ .

- Dựng  $$ \widehat{xAB}={{55}^{o}} $$ .

- Dựng tia Ay vuông góc với tia Ax.

- Dựng đường trung trực d của đoạn thẳng AB. Gọi O là giao điểm của d và Ay.

- Vẽ cung AmB, tâm O, bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB và không chứa tia Ax.

Vậy  $$ \overset\frown{AmB} $$  là cung chứa góc  $$ {{55}^{o}} $$  dựng trên đoạn thẳng  $$ AB=3cm $$ .

Bài 45 trang 86 SGK Toán 9 tập 2

Bài 45 (trang 86 SGK Toán 9 tập 2): Cho các hình thoi ABCD có cạnh AB cố định. TÌm quỹ tích giao điểm O của hai đường chéo của các hình thoi đó.

Lời giải              

Vì ABCD là hình thoi nên  $$ AC\bot BD $$  tại O  $$ \Rightarrow \,\,\,\widehat{AOB}={{90}^{o}} $$  và cạnh AB cố định.

Do đó: quỹ tích của O là nửa đường tròn đường kính AB.