Bài 15 trang 51 Toán 9 Tập 1

Bài 15 (trang 51 SGK Toán 9 Tập 1):

a) Vẽ đồ thị của các hàm số  $$ y=2x\,\,;\,\,y=2x+5\,\,;\,\,y=-\frac{2}{3}\,x\, $$  và  $$ y=-\frac{2}{3}\,x+5 $$  trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Bốn đường thẳng trên cắt nhau tạo thành tứ giác OABC (O là gốc tọa độ). Tứ giác OABC có phải là hình bình hành không ? Vì sao ?

Lời giải:

a) Đường thẳng  $$ y=2x $$  đi qua hai điểm  $$ O(0\,;\,0) $$  và  $$ M(1\,;\,2) $$ .

Đường thẳng  $$ y=2x+5 $$  đi qua hai điểm  $$ N(-2,5\,;\,0) $$  và  $$ B(0;5) $$ .

Đường thẳng  $$ y=-\frac{2}{3}\,x $$  đi qua hai điểm  $$ O(0\,;0) $$  và  $$ P\left( -1\,;\,\frac{2}{3} \right) $$ .

Đường thẳng  $$ y=-\frac{2}{3}\,x+5 $$  đi qua hai điểm  $$ B(0;5)\, $$  và  $$ D(7,5;0) $$ .

b) Bốn đường thẳng trên cắt nhau tạo thành tứ giác OABC (O là gốc tọa độ).

Tứ giác OABC có:

 OA // BC (Vì đường thẳng  $$ y=-\frac{2}{3}\,x+5 $$  song song với đường thẳng  $$ y=-\frac{2}{3}\,x $$ ) ;

 OC // AB (Vì đường thẳng  $$ y=2x+5 $$  song song với đường thẳng  $$ y=2x $$ ) ;

Suy ra tứ giác OABC là hình bình hành.

Bài 16 trang 51 Toán 9 Tập 1

Bài 16 (trang 51 SGK Toán 9 Tập 1):

a) Vẽ đồ thị của các hàm số \[y=x\] và \[y=2x+2\] trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Gọi  $$ A $$   là giao điểm của hai đồ thị nói trên, tìm tọa độ điểm  $$ A $$  .

c) Vẽ qua điểm \[B\left( 0;2 \right)\] một đường thẳng song song với trục \[\text{Ox}\], cắt đường thẳng \[y=x\] tại điểm  $$ C $$ . Tìm tọa độ điểm  $$ C $$   rồi tính diện tích tam giác  $$ ABC $$  (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimet)

Lời giải:

a) Vẽ đường thẳng qua \[O\left( 0;0 \right)\] và điểm \[M\left( 1;1 \right)\] được đồ thị hàm số \[y=x.\]

Vẽ đường thẳng qua \[B\left( 0;2 \right)\] và \[D\left( -1; 0 \right)\] được đồ thị hàm số \[y=2x+2.\]

b) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình:

        \[2x+2=x\] \[\Leftrightarrow x=-2.\]

Với \[x=-2\,\,\Rightarrow y=-2\].

Vậy tọa độ giao điểm là \[A\left( -2;-2 \right).\]

c) Qua \[B\left( 0;2 \right)\] vẽ đường thẳng song song với \[Ox\], đường thẳng này có phương trình \[y=2\] và cắt đường thẳng \[y=x\] tại  $$ C $$ .

 $$ \Rightarrow  $$   \[C\left( 2;2 \right)\].

- Tính diện tích tam giác \[ABC\]:

Ta có:  $$ BC=2\,(cm)\,;\,\,AE=2+2=4\,(cm). $$ .

 $$ {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AE.BC=\frac{1}{2}.4.2=4\,(c{{m}^{2}}). $$   

Bài 17 trang 51 Toán 9 tập 1

Bài 17 (trang 51 SGK Toán 9 tập 1):

Lời giải:

a) Đường thẳng  $$ y=x+1 $$  đi qua hai điểm  $$ N(0;1) $$  và  $$ A(-1\,;\,0) $$ .

Đường thẳng  $$ y=-x+3 $$  đi qua hai điểm  $$ M(0;3) $$  và  $$ B(3;0) $$ .

b) Hai đường thẳng đã cho cắt trục \[Ox\] tại   $$ A(-1\,;\,0) $$  và  $$ B(3;0) $$ .

+ Xác định tọa độ điểm C.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng đã cho:

  $$ x+1=-x+3\Leftrightarrow 2x=2\Leftrightarrow x=1. $$  

Với  $$ x=1\,\,\Rightarrow y=2 $$ .

Vậy  $$ C(1;2) $$ .

c) Gọi H là hình chiếu của C trên trục  $$ Ox $$ .

Ta có:  $$ AH=CH=BH=2\,cm $$ ;  $$ AB=AH+BH=4cm $$ ;

  $$ AC=\sqrt{C{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2} $$  (cm);

 $$ BC=\sqrt{C{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}}=\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\,(cm) $$ .

Chu vi tam giác  $$ ABC $$  là:  $$ AB+AC+BC=4+2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4+4\sqrt{2}\,\,(cm). $$  

Diện tích tam giác  $$ ABC $$  là:  $$ {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}CH.AB=\frac{1}{2}.2.4=4\,(c{{m}^{2}}). $$  

Bài 18 trang 52 Toán 9 tập 1.

Bài 18 (trang 52 SGK Toán 9 tập 1) :

Lời giải:

a) Thay  $$ x=4\,;\,y=11 $$  vào hàm số  $$ y=3x+b $$  ta được:

 $$ 11=3.4+b\Leftrightarrow b=-1. $$  

Vậy  $$ y=3x-1 $$ .

Đồ thị hàm số   $$ y=3x-1 $$  là đường thẳng đi qua hai điểm  $$ A(0;-1) $$  và  $$ B(1;2) $$ .

b)  Đồ thị của hàm số  $$ y=ax+5 $$  đi qua điểm  $$ A(-1;3) $$  thì   $$ 3=a(-1)+5\Leftrightarrow a=2. $$  

Vậy  $$ y=2x+5. $$  

Đồ thị của hàm số  $$ y=2x+5 $$  đi qua hai điểm  $$ A(-1;3) $$  và  $$ B(0;5). $$  

Bài 19 trang 52 Toán 9 tập 1

Bài 19 (trang 52 SGK Toán 9 tập 1) :

Lời giải:

+Vẽ đồ thị hàm số  $$ y=\sqrt{3}\,x+\sqrt{3} $$ .

Cho  $$ x=0\,\Rightarrow \,y=\sqrt{3}\,\,\,\,\,\to \,\,M\left( 0;\sqrt{3} \right). $$  

Cho  $$ y=0\,\,\Rightarrow \,x=-1\,\,\to \,\,N(-1\,;\,0). $$  

Đồ thị hàm số   $$ y=\sqrt{3}\,x+\sqrt{3} $$  đi qua hai điểm  $$ M\left( 0\,;\,\sqrt{3} \right) $$  và  $$ N(-1;0). $$  

+ Ta xác định vị trí điểm  $$ M\left( 0\,;\,\sqrt{3} \right) $$  trên trục tung.

- Xác định điểm  $$ A(1;1) $$  trên mặt phẳng tọa độ \[Oxy\]. Theo định lí Py-ta-go ta có:

 $$ OA=\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{2} $$ .

Dùng compa vẽ cung tròn tâm  $$ O $$  bán kính  $$ OA=\sqrt{2} $$ .  Cung tròn này cắt trục \[Ox\] tại điểm  $$ C $$   có hoành độ là  $$ \sqrt{2} $$ .

- Xác định điểm $$ B\left( \sqrt{2}\,;\,1 \right) $$  trên mặt phẳng tọa độ \[Oxy\]. Theo định lí Py-ta-go ta có:

 $$ OB=\sqrt{{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{3} $$ .

Dùng compa vẽ cung tròn tâm  $$ O $$  bán kính  $$ OB=\sqrt{3} $$ .  Cung tròn này cắt trục \[Oy\] tại điểm  $$ M $$  có tung  độ là  $$ \sqrt{3} $$ .

Ta xác định được điểm  $$ M\left( 0\,;\,\sqrt{3} \right) $$ .

- Kẻ đường thẳng đi qua hai điểm  $$ M $$  và  $$ N $$  ta được đồ thị hàm số  $$ y=\sqrt{3}\,x+\sqrt{3} $$ .

+ Áp dụng vẽ đồ thị hàm số  $$ y=\sqrt{5}x+\sqrt{5} $$ .

Cho  $$ x=0\,\,\Rightarrow \,\,y=\sqrt{5}\,\,\,\to \,\,B\left( 0\,;\sqrt{5} \right) $$ .

Cho  $$ x=-1\,\,\Rightarrow \,\,y=0\,\,\to \,\,C(-1;0). $$

- Xác định điểm  $$ A(2;1) $$  trên mặt phẳng tọa độ \[Oxy\].

Theo định lí Py-ta-go ta có:

 $$ OA=\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{5}. $$  

- Vẽ cung tròn tâm  $$ O $$  bán kính  $$ OA=\sqrt{5} $$ . Cung tròn này cắt trục  $$ Oy $$  tại điểm  $$ B $$  có tung độ là  $$ \sqrt{5} $$ . Ta xác định được điểm  $$ B\left( 0\,;\,\sqrt{5} \right) $$ .

- Kẻ đường thẳng đi qua hai điểm  $$ B\left( 0\,;\,\sqrt{5} \right) $$ và  $$ C\left( -1;0 \right) $$  ta được đồ thị hàm số  $$ y=\sqrt{5}x+\sqrt{5} $$.