Bài 12 trang 106 Toán 9 Tập 1

Bài 12 (trang 106 SGK Toán 9 Tập 1): Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm, dây AB bằng 8cm.

a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.

b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI = 1cm. Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB. Chứng minh rằng CD = AB.

Lời giải:

a) Kẻ OJ vuông góc với AB tại J.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OAJ có:

\[O{{J}^{2}}=O{{A}^{2}} - A{{J}^{2}}={{5}^{2}} - {{4}^{2}}=9\] \[\Rightarrow \,\,OJ=3cm\]. (1)

Vậy khoảng cách từ tâm O đến dây AB là OJ = 3cm.

b) Kẻ OM vuông góc với CD tại M.

Tứ giác OJIM có: \[\widehat{J}=\widehat{\, I }=\widehat{M}={{90}^{o}}\] nên là tứ giác OJIM hình chữ nhật.

Ta có \[IJ=AJ - AI=4 - 1=3cm\].

\[\Rightarrow \,\,OM=IJ=3cm\] (tính chất hình chữ nhật) .    (2)

Từ (1), (2) suy ra \[OM = OJ \].

Do đó: \[CD=AB\] (hai dây cách đều tâm thì bằng nhau). (đpcm)

Bài 13 trang 106 Toán 9 Tập 1

Bài 13 (trang 106 SGK Toán 9 Tập 1): Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:

a) EH = EK

b) EA = EC.

Lời giải:

a) Nối OE ta có: AB = CD

=> OH = OK (Định lí 3)

Hai tam giác vuông OEH và OEK có:

    OE là cạnh chung ;

    OH = OK

=> ΔOEH = ΔOEK (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

=> EH = EK.         (1) (đpcm)

b) Ta có: OH ⊥ AB

=>  H là trung điểm của AB => AB = 2AH.

Tương tự : CD = 2KC.

Mà AB = CD (gt) suy ra AH = KC.     (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

EA = EH + HA = EK + KC = EC.

Vậy EA = EC (đpcm).

Bài 14 trang 106 Toán 9 Tập 1

Bài 14 (trang 106 SGK Toán 9 Tập 1): Cho đường tròn tâm O bán kính 25cm, dây AB bằng 40cm. Vẽ dây CD song song với AB và có khoảng cách đến AB bằng 22cm. Tính độ dài dây CD.

Lời giải:

Kẻ \[OM\bot AB,ON\bot CD.\]

Ta thấy M, O, N thẳng hàng (Vì AB // CD).

 Ta có:  $$ AM=\frac{1}{2}AB=20cm\,;\,MN=22cm\,\,;\,\,OA=22cm. $$  

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông AMO có:

\[O{{M}^{2}}=O{{A}^{2}} - A{{M}^{2}}={{25}^{2}} - {{20}^{2}}=225\]

\[\Rightarrow \,\,OM=\sqrt{225}=15\,(cm).\]

\[\Rightarrow \,\,ON=MN - OM=22 - 15 =7\left( cm \right)\].

 Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông CON có:

\[C{{N}^{2}}=C{{O}^{2}} - O{{N}^{2}}={{25}^{2}} - {{7}^{2}}=576\]

\[\Rightarrow \,\,CN=\sqrt{576}=24\,\,(cm)\] \[\Rightarrow \,\,\,CD=2CN=48cm.\]

Bài 15 trang 106 Toán 9 Tập 1

Bài 15 (trang 106 SGK Toán 9 Tập 1): Cho hình 70 trong đó hai đường tròn cùng có tâm là O. Cho biết AB > CD.

Hãy so sánh các độ dài:

a) OH và OK

b) ME và MF

c) MH và MK.

Lời giải:

a) Trong đường tròn nhỏ:

AB > CD => OH < OK (định lí 3).

b) Trong đường tròn lớn:

OH < OK => ME > MF (định lí 3).

c) Trong đường tròn lớn:

ME > MF => MH > MK.

Bài 16 trang 106 Toán 9 Tập 1

Bài 16 (trang 106 SGK Toán 9 Tập 1): Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây BC vuông góc với OA tại A. Vẽ dây EF bất kì đi qua A và không vuông góc với OA. Hãy so sánh độ dài hai dây BC và EF.

Lời giải:

Kẻ OH ⊥ EF.

Trong tam giác vuông OHA vuông tại H có OA > OH (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên).

Vì OA > OH nên BC < EF (định lí 3).