Bài 28 trang 18 Toán 9 Tập 1

Bài 28 (trang 18 SGK Toán 9 Tập 1): Tính:

Lời giải:

Bài 29 trang 19 Toán 9 Tập 1

Bài 29 (trang 19 SGK Toán 9 Tập 1): Tính:

Lời giải:

Bài 30 trang 19 Toán 9 Tập 1

Bài 30 (trang 19 SGK Toán 9 Tập 1): Rút gọn các biểu thức sau:

Lời giải:

a)  $$ \frac{y}{x}\sqrt{\frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{4}}}}=\frac{y}{x}.\frac{\sqrt{{{x}^{2}}}}{\sqrt{{{y}^{4}}}}=\frac{y}{x}.\frac{\left| x \right|}{\left| {{y}^{2}} \right|}=\frac{y}{x}.\frac{x}{{{y}^{2}}}=\frac{1}{y} $$  với  $$ x>0,\,\,y\ne 0 $$ .

b)  $$ 2{{y}^{2}}\sqrt{\frac{{{x}^{4}}}{4{{y}^{2}}}}=2{{y}^{2}}\frac{\sqrt{{{x}^{4}}}}{\sqrt{4{{y}^{2}}}}=2{{y}^{2}}.\frac{\left| {{x}^{2}} \right|}{\left| 2y \right|}=\frac{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{|y|}=\frac{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{-y}=-{{x}^{2}}y $$   với  $$ y<0. $$  

c)  $$ 5xy\sqrt{\frac{25{{x}^{2}}}{{{y}^{6}}}}=5xy\frac{\sqrt{25{{x}^{2}}}}{\sqrt{{{y}^{6}}}}=5xy.\frac{\left| 5x \right|}{\left| {{y}^{3}} \right|}=\frac{25xy\left| x \right|}{\left| {{y}^{3}} \right|} $$  

Với  $$ x<0,\,\,y>0 $$  thì  $$ \left| x \right|=-x\,;\,\,\left| {{y}^{3}} \right|={{y}^{3}} $$ .

Thay vào ta được kết quả là:  $$ \frac{25xy(-x)}{{{y}^{3}}}=-\frac{25{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}} $$ .

d)  $$ 0,2{{x}^{3}}{{y}^{3}}\sqrt{\frac{16}{{{x}^{4}}{{y}^{8}}}}=0,2{{x}^{3}}{{y}^{3}}.\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{{{x}^{4}}{{y}^{8}}}} $$  

     $$ =0,2{{x}^{3}}{{y}^{3}}.\frac{4}{\left| {{x}^{2}}{{y}^{4}} \right|} $$  $$ =\frac{0,8{{x}^{3}}{{y}^{3}}}{{{x}^{2}}{{y}^{4}}}=\frac{0,8x}{y} $$  với  $$ x\ne 0\,;\,y\ne 0 $$ .  

Bài 31 trang 19 Toán 9 Tập 1

Bài 31 (trang 19 SGK Toán 9 Tập 1): 

a) So sánh  $$ \sqrt{25-16} $$  và  $$ \sqrt{25}-\sqrt{16} $$ .

b) Chứng minh rằng, với  $$ a>b>0 $$  thì:  $$ \sqrt{a}-\sqrt{b}<\sqrt{a-b} $$ .

Lời giải

  a)  $$ \sqrt{25-16}=\sqrt{9}=\sqrt{{{3}^{2}}}=3 $$ ;

 $$ \sqrt{25}-\sqrt{16}=\sqrt{{{5}^{2}}}-\sqrt{{{4}^{2}}}=5-4=1 $$ .

Vì  $$ 3>1 $$  nên   $$ \sqrt{25-16}\,\,>\sqrt{25}-\sqrt{16} $$ .

b)  Với  $$ a>b>0 $$  để chứng minh  $$ \sqrt{a}-\sqrt{b}<\sqrt{a-b} $$  ta quy về so sánh   $$ \sqrt{a} $$  với  $$ \sqrt{a-b}+\sqrt{b} $$  

Áp dụng kết quả bài 26 b) với hai số dương  $$ (a-b) $$  và  $$ b $$  ta được:

 $$ \sqrt{a-b}+\sqrt{b}>\sqrt{a-b+b}\Leftrightarrow \sqrt{a-b}+\sqrt{b}>\sqrt{a} $$ .

Vậy   $$ \sqrt{a}-\sqrt{b}<\sqrt{a-b} $$ .

Bài 32 trang 19 Toán 9 Tập 1

Bài 32 (trang 19 SGK Toán 9 Tập 1): Tính:

Lời giải:

Bài 33 trang 19 Toán 9 Tập 1

Bài 33 (trang 19 SGK Toán 9 Tập 1): Giải phương trình:

Lời giải:

    c)  $$ \sqrt{3}{{x}^{2}}-\sqrt{12}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\sqrt{12}:\sqrt{3} $$

        $$ \Leftrightarrow {{x}^{2}}=\sqrt{4} $$  $$ \Leftrightarrow {{x}^{2}}=2 $$ 

        $$ \Leftrightarrow \left[ \begin{align}   & x=-\sqrt{2} \\  & x=\sqrt{2} \\ \end{align} \right. $$ .

   d) $$ \frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{5}}-\sqrt{20}=0\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{5}}=\sqrt{20} $$  

       $$ \Leftrightarrow {{x}^{2}}=\sqrt{20}.\sqrt{5}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\sqrt{100} $$

       $$ \Leftrightarrow {{x}^{2}}=10 $$  $$ \Leftrightarrow \left[ \begin{align}   & x=-\sqrt{10} \\  & x=\sqrt{10} \\ \end{align} \right.. $$

Bài 34 trang 19 Toán 9 Tập 1

Bài 34 (trang 19 SGK Toán 9 Tập 1): Rút gọn các biểu thức sau:

a) \[a{{b}^{2}}\sqrt{\frac{3}{{{a}^{2}}{{b}^{4}}}}\]  với  $$ a<0,\,\,b\ne 0\,; $$  

b)  $$ \sqrt{\frac{27{{(a-3)}^{2}}}{48}} $$  với  $$ a>3 $$ ;

c)  $$ \sqrt{\frac{9+12a+4{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}} $$  với  $$ a\ge -1,5 $$  và  $$ b<0 $$

d)  $$ (a-b)\sqrt{\frac{ab}{{{(a-b)}^{2}}}} $$   với  $$ a<b<0 $$ .

Lời giải:

a) \[a{{b}^{2}}\sqrt{\frac{3}{{{a}^{2}}{{b}^{4}}}}=a{{b}^{2}}.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{4}}}}=a{{b}^{2}}.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{{{a}^{2}}}.\sqrt{{{b}^{4}}}}\]

   \[=a{{b}^{2}}.\frac{\sqrt{3}}{|a|.{{b}^{2}}}\] $$ =a{{b}^{2}}.\frac{\sqrt{3}}{-a.{{b}^{2}}}=-\sqrt{3} $$  với  $$ a<0\,,\,b\ne 0 $$ .

b)  $$ \sqrt{\frac{27{{(a-3)}^{2}}}{48}}=\sqrt{\frac{9{{(a-3)}^{2}}}{16}}=\frac{\sqrt{9}.\sqrt{{{(a-3)}^{2}}}}{\sqrt{16}}=\frac{3\left| a-3 \right|}{4}=\frac{3(a-3)}{4} $$  với  $$ a>3 $$ .

c)  $$ \sqrt{\frac{9+12a+4{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}}=\sqrt{\frac{{{3}^{2}}+2.3.2a+{{(2a)}^{2}}}{{{b}^{2}}}} $$

 $$ =\sqrt{\frac{{{(3+2a)}^{2}}}{{{b}^{2}}}}=\frac{\left| 2a+3 \right|}{\left| b \right|}=\frac{2a+3}{-b}=-\frac{2a+3}{b} $$

 (Vì   $$ a\ge -1,5 $$  và  $$ b<0 $$  thì  $$ |2a+3|=2a+3 $$  và  $$ |b|=-b $$ )

d)  $$ (a-b)\sqrt{\frac{ab}{{{(a-b)}^{2}}}}=(a-b).\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{{{(a-b)}^{2}}}} $$

 $$ =(a-b).\frac{\sqrt{ab}}{|a-b|}=(a-b).\frac{\sqrt{ab}}{-(a-b)}=-\sqrt{ab} $$  (Vì  $$ a<b<0 $$  nên  $$ a-b<0 $$  và  $$ ab>0 $$ )

Bài 35 trang 20 Toán 9 Tập 1

Bài 35 (trang 20 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm x, biết:

a)  $$ \sqrt{{{(x-3)}^{2}}}=9 $$  ;

b)  $$ \sqrt{4{{x}^{2}}+4x+1}=6 $$ .

Lời giải:

Chú ý: Với $$ B\ge 0 $$ thì $$ \left| A \right|=B $$ $$ \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & A=-B \\ & A=B \\ \end{align} \right. $$ .

a) $$ \sqrt{{{(x-3)}^{2}}}=9\Leftrightarrow |x-3|=9 $$

$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x-3=-9 \\ & x-3=9 \\ \end{align} \right. $$ $$ \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-6 \\ & x=12 \\ \end{align} \right.. $$

Vậy $$ x=-6\,;\,x=12. $$

b) $$ \sqrt{4{{x}^{2}}+4x+1}=6 $$ $$ \Leftrightarrow \sqrt{{{(2x+1)}^{2}}}=6 $$

$$ \Leftrightarrow \left| 2x+1 \right|=6 $$ $$ \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2x+1=-6 \\ & 2x+1=6 \\ \end{align} \right. $$

$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2x=-7 \\ & 2x=5 \\ \end{align} \right. $$ $$ \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\frac{7}{2} \\ & x=\frac{5}{2} \\ \end{align} \right.. $$

Vậy $$ x=-\frac{7}{2}\,;\,x=\frac{5}{2}. $$

Bài 36 trang 20 Toán 9 Tập 1

Bài 36 (trang 20 SGK Toán 9 Tập 1): Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?

a) \[0,01=\sqrt{0,0001}\] ;

b)  $$ -0,5=\sqrt{-0,25} $$ ;  

c)  $$ \sqrt{39}<7 $$  và  $$ \sqrt{39}>6 $$ ;

d)  $$ \left( 4-\sqrt{13} \right).2x<\sqrt{3}\left( 4-\sqrt{13} \right)\Leftrightarrow 2x<\sqrt{3} $$  

Lời giải:

a) Đúng, vì \[\sqrt{0,0001}=\sqrt{0,{{01}^{2}}}=0,01\].

b) Sai, vì vế phải không có nghĩa.

(Lưu ý:  $$ \sqrt{A} $$  có nghĩa khi  $$ A\ge 0 $$ )

c) Đúng, vì \[7=\sqrt{{{7}^{2}}}=\sqrt{49}>\sqrt{39}\] và \[6=\sqrt{{{6}^{2}}}=\sqrt{36}<\sqrt{39}\]

d) Đúng, vì \[4-\sqrt{13}=\sqrt{{{4}^{2}}}-\sqrt{13}=\sqrt{16}-\sqrt{13}>0\]

Do đó:  $$ \left( 4-\sqrt{13} \right).2x<\sqrt{3}\left( 4-\sqrt{13} \right) $$  $$ \Leftrightarrow 2x<\sqrt{3} $$  (Chia cả hai vế cho  $$ 4-\sqrt{13}>0 $$ ).

Bài 37 trang 20 Toán 9 Tập 1

Bài 37 (trang 20 SGK Toán 9 Tập 1): Đố. Trên lưới ô vuông, mỗi ô cạnh 1cm, cho bốn điểm M, N, P, Q. Hãy xác định số đô cạnh, đường chéo và diện tích của tứ giác MNPQ.

Hình 3

Lời giải:

Dựa vào định lý Pytago, ta thấy mỗi cạnh của tứ giác MNPQ là đường chéo của hình chữ nhật do hai ô vuông ghép lại, nên hình đó có bốn cạnh bằng nhau và bằng

 $$ \sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{5}\,(cm) $$ .  

Mỗi đường chéo của tứ giác MNPQ là đường chéo của hình chữ nhật do ba ô vuông ghép lại, nên tứ giác MNPQ có hai đường chéo bằng nhau và bằng

$$ \sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}=\sqrt{10}\,(cm) $$ .

Tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau và có hai đường chéo bằng nhau nên tứ giác MNPQ là hình vuông.

Diện tích hình vuông MNPQ:

    $$ S={{\left( \sqrt{5} \right)}^{2}}=5\,\,(c{{m}^{2}}) $$.