Bài 48 trang 29 Toán 9 Tập 1

Bài 48 (trang 29 SGK Toán 9 Tập 1): Khử mẫu của biểu thức lấy căn

Lời giải:

(Ghi nhớ: Khử căn ở mẫu tức là nhân cả tử và mẫu với thừa số có chứa căn.)

•  $$ \sqrt{\frac{1}{600}}=\frac{1}{\sqrt{600}}=\frac{1}{\sqrt{{{6.10}^{2}}}}=\frac{1}{10\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{10\sqrt{6}.\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{10.6}=\frac{\sqrt{6}}{60} $$ .
•  $$ \sqrt{\frac{11}{540}}=\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{540}}=\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{{{6}^{2}}.15}}=\frac{\sqrt{11}}{6\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{11}.\sqrt{15}}{6\sqrt{15}.\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{165}}{90}. $$   
•  $$ \sqrt{\frac{3}{50}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{50}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{{{5}^{2}}.2}}=\frac{\sqrt{3}}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}.\sqrt{2}}{5\sqrt{2}.\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{10} $$ .
•  $$ \sqrt{\frac{5}{98}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{98}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{{{7}^{2}}.2}}=\frac{\sqrt{5}}{7\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}.\sqrt{2}}{7\sqrt{2}.\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{14} $$ .

•  $$ \sqrt{\frac{{{\left( 1-\sqrt{3} \right)}^{2}}}{27}}=\frac{\sqrt{{{\left( 1-\sqrt{3} \right)}^{2}}}}{\sqrt{27}}=\frac{\left| 1-\sqrt{3} \right|}{\sqrt{{{3}^{2}}.3}} $$

   $$ =\frac{\left( \sqrt{3}-1 \right)}{3\sqrt{3}}=\frac{\left( \sqrt{3}-1 \right)\sqrt{3}}{3\sqrt{3}.\sqrt{3}}=\frac{3-\sqrt{3}}{9}. $$

Bài 49 trang 29 Toán 9 Tập 1

Bài 49 (trang 29 SGK Toán 9 Tập 1): Khử mẫu của biểu thức lấy căn

\[ab\sqrt{\frac{a}{b}}\,\,;\,\,\,\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}\,\,\,;\,\,\,\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{{{b}^{2}}}}\,\,;\,\,\,\,\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{{{b}^{2}}}}\,\,\,;\,\,\,\sqrt{\frac{9{{a}^{2}}}{36b}}\,\,\,;\,\,\,3xz\sqrt{\frac{2}{xy}}.\] (Giả thiết các biểu thức có nghĩa).

Lời giải

• $$ ab\sqrt{\frac{a}{b}}=ab\sqrt{\frac{ab}{{{b}^{2}}}}=\frac{ab\sqrt{ab}}{\left| b \right|} $$ $$ =\left\{ \begin{align} & a\sqrt{ab}\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,a>0\,;\,b>0 \\ & -a\sqrt{ab}\,\,\,\,khi\,\,\,a<0\,;\,b<0 \\ \end{align} \right. $$
• $$ \frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{a}{b}\sqrt{\frac{ab}{{{a}^{2}}}}=\frac{a}{b}.\frac{\sqrt{ab}}{\left| a \right|} $$ $$ =\left\{ \begin{align} & \frac{\sqrt{ab}}{b}\,\,khi\,\,a>0\,;\,\,b>0 \\ & -\frac{\sqrt{ab}}{b}\,\,khi\,\,a<0\,;\,b<0 \\ \end{align} \right. $$ 
•  $$ \sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{{{b}^{2}}}}=\sqrt{\frac{b+1}{{{b}^{2}}}}=\frac{\sqrt{b+1}}{\left| b \right|} $$ $$ $$ $$ \left\{ \begin{align} & \frac{\sqrt{b+1}}{b}\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,b>0 \\ & -\frac{\sqrt{b+1}}{b}\,\,\,\,khi\,\,-1\,<\,b<0 \\ \end{align} \right. $$
• $$ \sqrt{\frac{9{{a}^{2}}}{36b}}=\sqrt{\frac{{{(3a)}^{2}}}{{{6}^{2}}b}}=\frac{\left| 3a \right|}{6\sqrt{b}}=\frac{\left| 3a \right|\sqrt{b}}{6\sqrt{b}\sqrt{b}}=\frac{\left| a \right|\sqrt{b}}{2b} $$ $$ =\left\{ \begin{align} & \frac{a\sqrt{b}}{2b}\,\,\,\,khi\,\,a\ge 0\,;\,b>0 \\ & -\frac{a\sqrt{b}}{2b}\,\,khi\,\,a<0\,;\,b>0 \\ \end{align} \right. $$
• $$ 3xy\sqrt{\frac{2}{xy}}=3xy\sqrt{\frac{2xy}{{{(xy)}^{2}}}}=3xy.\frac{\sqrt{2xy}}{\left| xy \right|}=3xy.\frac{\sqrt{2xy}}{xy}=3\sqrt{2xy} $$ với $$ xy>0 $$ 

Bài 50 trang 30 Toán 9 Tập 1

Bài 50 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1): Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa

$$ \frac{5}{\sqrt{10}}\,\,\,\,;\,\,\,\,\frac{5}{2\sqrt{5}}\,\,\,\,;\,\,\,\,\frac{1}{3\sqrt{20}}\,\,\,;\,\,\,\frac{2\sqrt{2}+2}{5\sqrt{2}}\,\,\,;\,\,\,\frac{y+b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}}. $$

Lời giải:

• $$ \frac{5}{\sqrt{10}}=\frac{5.\sqrt{10}}{\sqrt{10}.\sqrt{10}}=\frac{5\sqrt{10}}{10}=\frac{5}{\sqrt{10}} $$
• $$ \frac{5}{2\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{2\sqrt{5}.\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{2.5}=\frac{\sqrt{5}}{2} $$
• $$ \frac{1}{3\sqrt{20}}=\frac{1}{3\sqrt{{{2}^{2}}.5}}=\frac{1}{3.2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{6\sqrt{5}.\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{6.5}=\frac{\sqrt{5}}{30} $$
• $$ \frac{2\sqrt{2}+2}{5\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{2}.\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\left( 2+\sqrt{2} \right)}{5\sqrt{2}}=\frac{2+\sqrt{2}}{5} $$

         (cách khác: $$ \frac{2\sqrt{2}+2}{5\sqrt{2}}=\frac{\left( 2\sqrt{2}+2 \right)\sqrt{2}}{5\sqrt{2}.\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}.\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{5.2}=\frac{4+2\sqrt{2}}{10}=\frac{2+\sqrt{2}}{5} $$ ).

• $$ \frac{y+b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{y}.\sqrt{y}+b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{y}\left( \sqrt{y}+b \right)}{b\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{y}+b}{b} $$

         (cách khác:  $$ \frac{y+b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}}=\frac{\left( y+b\sqrt{y} \right).\sqrt{y}}{b\sqrt{y}.\sqrt{y}}=\frac{y\sqrt{y}+by}{by}=\frac{\sqrt{y}+b}{b} $$ ).

Bài 51 trang 30 Toán 9 Tập 1

Bài 51 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1): Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa

Lời giải:

•  $$ \frac{3}{\sqrt{3}+1}=\frac{3\left( \sqrt{3}-1 \right)}{\left( \sqrt{3}+1 \right)\left( \sqrt{3}-1 \right)}=\frac{3\left( \sqrt{3}-1 \right)}{{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}-{{1}^{2}}}=\frac{3\left( \sqrt{3}-1 \right)}{3-1}=\frac{3\left( \sqrt{3}-1 \right)}{2} $$  
•  $$ \frac{2}{\sqrt{3}-1}=\frac{2\left( \sqrt{3}+1 \right)}{\left( \sqrt{3}-1 \right)\left( \sqrt{3}+1 \right)}=\frac{2\left( \sqrt{3}+1 \right)}{{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}-{{1}^{2}}}=\frac{2\left( \sqrt{3}+1 \right)}{2} $$   $$ =\sqrt{3}+1 $$
•  $$ \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{\left( 2+\sqrt{3} \right)\left( 2+\sqrt{3} \right)}{\left( 2-\sqrt{3} \right)\left( 2+\sqrt{3} \right)}=\frac{{{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{2}}}{{{2}^{2}}-{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}=\frac{4+4\sqrt{3}+{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}{4-3}=7+4\sqrt{3} $$  
•  $$ \frac{b}{3+\sqrt{b}}=\frac{b\left( 3-\sqrt{b} \right)}{\left( 3+\sqrt{b} \right)\left( 3-\sqrt{b} \right)}=\frac{b\left( 3-\sqrt{b} \right)}{{{3}^{2}}-{{\left( \sqrt{b} \right)}^{2}}}=\frac{b\left( 3-\sqrt{b} \right)}{9-b} $$  
•  $$ \frac{p}{2\sqrt{p}-1}=\frac{p\left( 2\sqrt{p}+1 \right)}{\left( 2\sqrt{p}-1 \right)\left( 2\sqrt{p}+1 \right)}=\frac{p\left( 2\sqrt{p}+1 \right)}{{{\left( 2\sqrt{p} \right)}^{2}}-{{1}^{2}}}=\frac{p\left( 2\sqrt{p}+1 \right)}{4p-1} $$

Bài 52 trang 30 Toán 9 Tập 1

Bài 52 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1): Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa

Lời giải:

Bài 53 trang 30 Toán 9 Tập 1

Bài 53 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1): Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết biểu thức chữ đều có nghĩa):

a)  $$ \sqrt{18{{\left( \sqrt{2}-\sqrt{3} \right)}^{2}}} $$ ;                                    b)  $$ ab\sqrt{1+\frac{1}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}} $$ ;

c)  $$ \sqrt{\frac{a}{{{b}^{3}}}+\frac{a}{{{b}^{4}}}} $$ ;                                                   d)  $$ \frac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} $$ .

Lời giải:

a)  $$ \sqrt{18{{\left( \sqrt{2}-\sqrt{3} \right)}^{2}}}=\left| \sqrt{2}-\sqrt{3} \right|\sqrt{{{2.3}^{2}}}=3\sqrt{2}\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)=3\sqrt{6}-6 $$

b)   $$ ab\sqrt{1+\frac{1}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}}=ab\sqrt{\frac{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+1}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}}=ab\frac{\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+1}}{\left| ab \right|} $$ $$ =\left\{ \begin{align}   & \sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+1}\,\,\,\,\,\,khi\,\,ab\,>0 \\  & -\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+1}\,\,\,khi\,\,ab<0 \\ \end{align} \right. $$  

c)  $$ \sqrt{\frac{a}{{{b}^{3}}}+\frac{a}{{{b}^{4}}}}=\sqrt{\frac{ab+a}{{{b}^{4}}}}=\frac{\sqrt{ab+a}}{\sqrt{{{\left( {{b}^{2}} \right)}^{2}}}}=\frac{\sqrt{ab+a}}{{{b}^{2}}} $$

d)  $$ \frac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}.\sqrt{a}+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt{a} $$

Bài 54 trang 30 Toán 9 Tập 1

Bài 54 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1): Rút gọn biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa):

Lời giải:

Nhận xét: Cách làm thứ nhất (nhận dạng tử có thể phân tích thành nhân tử để rút gọn nhân tử đó với mẫu) thích hợp hơn cách làm thứ hai (trục căn thức ở mẫu rồi thu gọn). Vì trục căn thức ở mẫu rồi rút gọn sẽ thêm nhiều phép nhân.

Bài 55 trang 30 Toán 9 Tập 1

Bài 55 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1): Phân tích thành nhân tử (với a, b, x, y là các số không âm)

a)  $$ ab+b\sqrt{a}+\sqrt{a}+1 $$ ;

b)  $$ \sqrt{{{x}^{3}}}-\sqrt{{{y}^{3}}}+\sqrt{{{x}^{2}}y}-\sqrt{x{{y}^{2}}} $$ .

Lời giải:

 a)  $$ ab+b\sqrt{a}+\sqrt{a}+1=\left( ab+b\sqrt{a} \right)+\left( \sqrt{a}+1 \right) $$

      $$ =b\sqrt{a}\left( \sqrt{a}+1 \right)+\left( \sqrt{a}+1 \right)=\left( \sqrt{a}+1 \right)\left( b\sqrt{a}+1 \right) $$ .

b)  $$ \sqrt{{{x}^{3}}}-\sqrt{{{y}^{3}}}+\sqrt{{{x}^{2}}y}-\sqrt{x{{y}^{2}}}=\left( \sqrt{{{x}^{3}}}+\sqrt{{{x}^{2}}y} \right)-\left( \sqrt{{{y}^{3}}}+\sqrt{x{{y}^{2}}} \right) $$

      $$ =\sqrt{{{x}^{2}}}\left( \sqrt{x}+\sqrt{y} \right)-\sqrt{{{y}^{2}}}\left( \sqrt{y}+\sqrt{x} \right)=x\left( \sqrt{x}+\sqrt{y} \right)-y\left( \sqrt{x}+\sqrt{y} \right) $$  

      $$ =\left( \sqrt{x}+\sqrt{y} \right)\left( x-y \right)=\left( \sqrt{x}+\sqrt{y} \right)\left( \sqrt{x}+\sqrt{y} \right)\left( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right)={{\left( \sqrt{x}+\sqrt{y} \right)}^{2}}\left( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right) $$

Bài 56 trang 30 Toán 9 Tập 1

Bài 56 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1): Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:

a)   $$ 3\sqrt{5}\,,\,\,2\sqrt{6}\,,\,\,\sqrt{29}\,,\,\,4\sqrt{2} $$ ;

b)  $$ 6\sqrt{2}\,,\,\,\sqrt{38}\,,\,\,3\sqrt{7},\,\,2\sqrt{14} $$ .

Lời giải:

a)  $$ 3\sqrt{5}=\sqrt{{{3}^{2}}.5}=\sqrt{45}\, $$ ;

     $$ 2\sqrt{6}=\sqrt{{{2}^{2}}.6}=\sqrt{24} $$ ;

    $$ 4\sqrt{2}=\sqrt{{{4}^{2}}.2}=\sqrt{32} $$ .

Vì  $$ \sqrt{24}<\sqrt{29}<\sqrt{32}<\sqrt{45} $$  nên  $$ 2\sqrt{6}\,\,<\sqrt{29}\,\,<\,\,4\sqrt{2}\,<\,\,3\sqrt{5}\,. $$

b)  $$ 6\sqrt{2}=\sqrt{{{6}^{2}}.2}=\sqrt{72} $$ ;

     $$ 3\sqrt{7}=\sqrt{{{3}^{2}}.7}=\sqrt{63} $$ ;

     $$ 2\sqrt{14}=\sqrt{{{2}^{2}}.14}=\sqrt{56} $$ .

Vì  $$ \sqrt{38}<\sqrt{56}<\sqrt{63}<\sqrt{72} $$  nên  $$ \sqrt{38}\,<\,2\sqrt{14}\,\,<3\sqrt{7}\,<\,6\sqrt{2} $$ .

Bài 57 trang 30 Toán 9 Tập 1

Bài 57 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1):

 $$ \sqrt{25x}-\sqrt{16x}=9 $$   khi  $$ x $$  bằng:

(A) 1 ;                     (B)  3 ;                           (C)  9  ;                 (D)  81 .

Lời giải:

- Chọn B.

Vì   $$ \sqrt{25x}-\sqrt{16x}=9\Leftrightarrow \sqrt{{{5}^{2}}.x}-\sqrt{{{4}^{2}}x}=9 $$

        $$ \Leftrightarrow 5\sqrt{x}-4\sqrt{x}=9\Leftrightarrow \sqrt{x}=9\Leftrightarrow x=81 $$ .