Bài 58 trang 32 Toán 9 Tập 1

Bài 58 (trang 32 SGK Toán 9 Tập 1): Rút gọn các biểu thức sau:

a)  $$ 5\sqrt{\frac{1}{5}}+\frac{1}{2}\sqrt{20}+\sqrt{5} $$ ;                                                b)  $$ \sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{4,5}+\sqrt{12,5} $$ ;

c)  $$ \sqrt{20}-\sqrt{45}+3\sqrt{18}+\sqrt{72} $$ ;                                             d)  $$ 0,1\sqrt{200}+2\sqrt{0,08}+0,4\sqrt{50} $$ .

Lời giải

a)   $$ 5\sqrt{\frac{1}{5}}+\frac{1}{2}\sqrt{20}+\sqrt{5}=5.\sqrt{\frac{1.5}{5.5}}+\frac{1}{2}\sqrt{{{2}^{2}}.5}+\sqrt{5} $$

     $$ =\frac{5}{5}\sqrt{5}+\frac{2}{2}\sqrt{5}+\sqrt{5}=\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5} $$

b)  $$ \sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{4,5}+\sqrt{12,5}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{\frac{9}{2}}+\sqrt{\frac{25}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{2}}+\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{9}{\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{2} $$

c)  $$ \sqrt{20}-\sqrt{45}+3\sqrt{18}+\sqrt{72}=\sqrt{{{2}^{2}}.5}-\sqrt{{{3}^{2}}.5}+3\sqrt{{{3}^{2}}.2}+\sqrt{{{6}^{2}}.2} $$

    $$ =2\sqrt{5}-3\sqrt{5}+9\sqrt{2}+6\sqrt{2}=-\,\sqrt{5}+15\sqrt{2} $$  

d)  $$ 0,1\sqrt{200}+2\sqrt{0,08}+0,4\sqrt{50}=0,1\sqrt{{{10}^{2}}.2}+2\sqrt{0,{{2}^{2}}.2}+0,4\sqrt{{{5}^{2}}.2} $$

 $$ =0,1.10\sqrt{2}+2.0,2\sqrt{2}+0,4.5\sqrt{2}=\sqrt{2}+0,4\sqrt{2}+2\sqrt{2}=(1+0,4+2)\sqrt{2}=3,4\sqrt{2}=\frac{17}{5}\sqrt{2}. $$  

Bài 59 trang 32 Toán 9 Tập 1

Bài 59 (trang 32 SGK Toán 9 Tập 1): Rút gọn các biểu thức sau (với  $$ a>0,\,\,b>0 $$ )

a)  $$ 5\sqrt{a}-4b\sqrt{25{{a}^{3}}}+5a\sqrt{16a{{b}^{2}}}-2\sqrt{9a} $$ ;

b)  $$ 5a\sqrt{64a{{b}^{3}}}-\sqrt{3}.\sqrt{12{{a}^{3}}{{b}^{3}}}+2ab\sqrt{9ab}-5b\sqrt{81{{a}^{3}}b} $$ .

Lời giải:

a) Với  $$ a>0,\,\,b>0 $$  ta có:

 $$ 5\sqrt{a}-4b\sqrt{25{{a}^{3}}}+5a\sqrt{16a{{b}^{2}}}-2\sqrt{9a}=5\sqrt{a}-4b\sqrt{{{(5a)}^{2}}.a}+5a\sqrt{{{(4b)}^{2}}a}-2\sqrt{{{3}^{2}}a} $$

 $$ =5\sqrt{a}-4b.5a\sqrt{a}+5a.4b\sqrt{a}-2.3\sqrt{a} $$   $$ =5\sqrt{a}-20ab\sqrt{a}+20ab\sqrt{a}-6\sqrt{a}=-\,\sqrt{a} $$

b)  Với  $$ a>0,\,\,b>0 $$  ta có:

 $$ 5a\sqrt{64a{{b}^{3}}}-\sqrt{3}.\sqrt{12{{a}^{3}}{{b}^{3}}}+2ab\sqrt{9ab}-5b\sqrt{81{{a}^{3}}b} $$

\[=5a\sqrt{{{(8b)}^{2}}ab}-\sqrt{36{{(ab)}^{2}}ab}+2ab\sqrt{{{3}^{2}}ab}-5b\sqrt{{{(9a)}^{2}}ab}\]

\[=5a.8b\sqrt{ab}-6ab\sqrt{ab}+2ab.3\sqrt{ab}-5b.9a\sqrt{ab}\]

 $$ =40ab\sqrt{ab}-6ab\sqrt{ab}+6ab\sqrt{ab}-45ab\sqrt{ab}=-5ab\sqrt{ab} $$  

Bài 60 trang 33 Toán 9 Tập 1

Bài 60 (trang 33 SGK Toán 9 Tập 1):  Cho biểu thức

                      $$ B=\sqrt{16x+16}-\sqrt{9x+9}+\sqrt{4x+4}+\sqrt{x+1} $$   với  $$ x\ge -1 $$ .

a) Rút gọn biểu thức  $$ B $$ ;

b) Tìm  $$ x $$  sao cho  $$ B $$  có giá trị là 16.

Lời giải:

a) Với  $$ x\ge -1 $$  ta có:

 $$ B=\sqrt{16x+16}-\sqrt{9x+9}+\sqrt{4x+4}+\sqrt{x+1} $$

 $$ =\sqrt{16(x+1)}-\sqrt{9(x+1)}+\sqrt{4(x+1)}+\sqrt{x+1} $$  

 $$ =4\sqrt{x+1}-3\sqrt{x+1}+2\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1} $$

 $$ =(4-3+2+1)\sqrt{x+1} $$

 $$ =4\sqrt{x+1} $$

b) Để  $$ B $$  có giá trị là 16 thì  $$ 4\sqrt{x+1}=16\Leftrightarrow \sqrt{x+1}=4\Leftrightarrow x+1={{4}^{2}}\Leftrightarrow x=15 $$  (thỏa mãn).

Bài 61 trang 33 Toán 9 Tập 1

Bài 61 (trang 33 SGK Toán 9 Tập 1): Chứng minh các đẳng thức sau:

a)  $$ \frac{3}{2}\sqrt{6}+2\sqrt{\frac{2}{3}}-4\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{6} $$ ;

b)  $$ \left( x\sqrt{\frac{6}{x}}+\sqrt{\frac{2x}{3}}+\sqrt{6x} \right):\sqrt{6x}=2\frac{1}{3} $$  với  $$ x>0 $$ .

Lời giải:

a)  $$ VT=\frac{3}{2}\sqrt{6}+2\sqrt{\frac{2}{3}}-4\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{3}{2}\sqrt{6}+2\sqrt{\frac{2.3}{{{3}^{2}}}}-4\sqrt{\frac{3.2}{{{2}^{2}}}} $$

            $$ =\frac{3}{2}\sqrt{6}+\frac{2}{3}\sqrt{6}-\frac{4}{2}\sqrt{6} $$  $$ =\left( \frac{3}{2}+\frac{2}{3}-2 \right)\sqrt{6}=\frac{\sqrt{6}}{6}=VP $$   (đpcm).

b) Với  $$ x>0 $$  ta có:

  $$ VT=\left( x\sqrt{\frac{6}{x}}+\sqrt{\frac{2x}{3}}+\sqrt{6x} \right):\sqrt{6x}=\left( \sqrt{\frac{6{{x}^{2}}}{x}}+\sqrt{\frac{2x.3}{{{3}^{2}}}}+\sqrt{6x} \right):\sqrt{6x} $$

         $$ =\left( \sqrt{6x}+\frac{1}{3}\sqrt{6x}+\sqrt{6x} \right):\sqrt{6x}=\left( 1+\frac{1}{3}+1 \right)\sqrt{6x}\,:\,\sqrt{6x}=2\frac{1}{3}\,=VP $$   (đpcm).

Bài 62 trang 33 Toán 9 Tập 1

Bài 62 (trang 33 SGK Toán 9 Tập 1): Rút gọn các biểu thức sau:

a)  $$ \frac{1}{2}\sqrt{48}-2\sqrt{75}-\frac{\sqrt{33}}{\sqrt{11}}+5\sqrt{1\frac{1}{3}} $$  ;                      b)  $$ \sqrt{150}+\sqrt{1,6}.\sqrt{60}+4,5\sqrt{2\frac{2}{3}}-\sqrt{6} $$ ;

c)  $$ \left( \sqrt{28}-2\sqrt{3}+\sqrt{7} \right)\sqrt{7}+\sqrt{84} $$  ;                      d)  $$ {{\left( \sqrt{6}+\sqrt{5} \right)}^{2}}-\sqrt{120} $$ .

Lời giải:

a)   $$ \frac{1}{2}\sqrt{48}-2\sqrt{75}-\frac{\sqrt{33}}{\sqrt{11}}+5\sqrt{1\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}\sqrt{{{4}^{2}}.3}-2\sqrt{{{5}^{2}}.3}-\sqrt{\frac{33}{11}}+5\sqrt{\frac{4}{3}} $$

 $$ =\frac{1}{2}.4\sqrt{3}-2.5\sqrt{3}-\sqrt{3}+\frac{5.2}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}-10\sqrt{3}-\sqrt{3}+10.\frac{\sqrt{3}}{3} $$  

 $$ =\left( 2-10-1+\frac{10}{3} \right)\sqrt{3}=-\frac{17}{3}\sqrt{3} $$

b)  $$ \sqrt{150}+\sqrt{1,6}.\sqrt{60}+4,5\sqrt{2\frac{2}{3}}-\sqrt{6} $$

     $$=\sqrt{{{5}^{2}}.6}+\sqrt{1,6.6.10}+\frac{9}{2}\sqrt{\frac{8}{3}}-\sqrt{6} $$

     $$ =5\sqrt{6}+\sqrt{{{4}^{2}}.6}+\frac{9}{2}\sqrt{\frac{{{2}^{2}}.2.3}{{{3}^{2}}}}-\sqrt{6} $$  

     $$ =5\sqrt{6}+4\sqrt{6}+\frac{9}{2}.\frac{2}{3}\sqrt{6}-\sqrt{6}=(5+4+3-1)\sqrt{6}=11\sqrt{6} $$

c)  $$ \left( \sqrt{28}-2\sqrt{3}+\sqrt{7} \right)\sqrt{7}+\sqrt{84}=\left( \sqrt{{{2}^{2}}.7}-2\sqrt{3}+\sqrt{7} \right)\sqrt{7}+\sqrt{{{2}^{2}}.3.7} $$

 $$ =\left( 3\sqrt{7}-2\sqrt{3} \right)\sqrt{7}+2\sqrt{21}=3\sqrt{7}.\sqrt{7}-2\sqrt{21}+2\sqrt{21}=3.7=21 $$ .

d)  $$ {{\left( \sqrt{6}+\sqrt{5} \right)}^{2}}-\sqrt{120}={{\left( \sqrt{6} \right)}^{2}}+2\sqrt{6}.\sqrt{5}+{{\left( \sqrt{5} \right)}^{2}}-\sqrt{{{2}^{2}}.30} $$

$$ =6+2\sqrt{30}+5-2\sqrt{30}=11 $$  

Bài 63 trang 33 Toán 9 Tập 1

Bài 63 (trang 33 SGK Toán 9 Tập 1): Rút gọn các biểu thức sau:

a)  $$ \sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{ab}+\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}} $$   với  $$ a>0\, $$  và  $$ b>0 $$ ;

b)  $$ \sqrt{\frac{m}{1-2x+{{x}^{2}}}}.\sqrt{\frac{4m-8mx+4m{{x}^{2}}}{81}}\, $$  với  $$ m>0 $$  và  $$ x\ne 1. $$   

Lời giải:

Bài 64 trang 33 Toán 9 Tập 1

Bài 64 (trang 33 SGK Toán 9 Tập 1): Chứng minh các đẳng thức sau:

a)  $$ \left( \frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a} \right){{\left( \frac{1-\sqrt{a}}{1-a} \right)}^{2}}=1 $$  với  $$ a\ge 0 $$  và  $$ a\ne 1 $$ ;

b)  $$ \frac{a+b}{{{b}^{2}}}\sqrt{\frac{{{a}^{2}}{{b}^{4}}}{{{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}}}=\,\left| a \right| $$  với  $$ a+b>0 $$  và  $$ b\ne 0 $$ .

Lời giải

a) Với  $$ a\ge 0 $$  và  $$ a\ne 1 $$  ta có:

 $$ VT=\left( \frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a} \right){{\left( \frac{1-\sqrt{a}}{1-a} \right)}^{2}} $$

  $$ =\left( \frac{1-{{\left( \sqrt{a} \right)}^{3}}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a} \right){{\left( \frac{1-\sqrt{a}}{1-{{\left( \sqrt{a} \right)}^{2}}} \right)}^{2}} $$

 $$ =\left( \frac{\left( 1-\sqrt{a} \right)\left( 1+\sqrt{a}+a \right)}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a} \right){{\left( \frac{1-\sqrt{a}}{\left( 1-\sqrt{a} \right)\left( 1+\sqrt{a} \right)} \right)}^{2}} $$

 $$ =\left( 1+\sqrt{a}+a+\sqrt{a} \right){{\left( \frac{1}{1+\sqrt{a}} \right)}^{2}} $$

 $$ ={{\left( 1+\sqrt{a} \right)}^{2}}.\frac{1}{{{\left( 1+\sqrt{a} \right)}^{2}}}=1=VP $$  (đpcm).

b) Với  $$ a+b>0 $$  và  $$ b\ne 0 $$  ta có

  $$ VT=\frac{a+b}{{{b}^{2}}}\sqrt{\frac{{{a}^{2}}{{b}^{4}}}{{{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}}}=\frac{a+b}{{{b}^{2}}}\sqrt{\frac{{{a}^{2}}{{({{b}^{2}})}^{2}}}{{{(a+b)}^{2}}}} $$  

 $$ =\frac{a+b}{{{b}^{2}}}.\frac{|a|{{b}^{2}}}{\left| a+b \right|}=\frac{(a+b)|a|{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}(a+b)}=|a|=VP $$  (đpcm).

Bài 65 trang 34 Toán 9 Tập 1

Bài 65 (trang 34 SGK Toán 9 Tập 1):  Rút gọn rồi so sánh  $$ M $$  với 1, biết

 $$ M=\left( \frac{1}{a-\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}-1} \right):\frac{\sqrt{a}+1}{a-2\sqrt{a}+1} $$  với  $$ a>0 $$  và  $$ a\ne 1 $$ .

Lời giải:

 Với  $$ a>0 $$  và  $$ a\ne 1 $$  ta có:

 $$ M=\left( \frac{1}{a-\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}-1} \right):\frac{\sqrt{a}+1}{a-2\sqrt{a}+1} $$

 $$ =\left( \frac{1}{\sqrt{a}\left( \sqrt{a}-1 \right)}+\frac{1}{\sqrt{a}-1} \right):\frac{\sqrt{a}+1}{{{\left( \sqrt{a}-1 \right)}^{2}}} $$  

 $$ =\left( \frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}\left( \sqrt{a}-1 \right)} \right):\frac{\sqrt{a}+1}{{{\left( \sqrt{a}-1 \right)}^{2}}} $$  

 $$ =\frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}\left( \sqrt{a}-1 \right)}.\frac{{{\left( \sqrt{a}-1 \right)}^{2}}}{\sqrt{a}+1}=\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}}=1-\frac{1}{\sqrt{a}}<1 $$  

Vậy  $$ M<1 $$  với  $$ a>0 $$  và  $$ a\ne 1 $$ .

Bài 66 trang 34 Toán 9 Tập 1

Bài 66 (trang 34 SGK Toán 9 Tập 1): Giá trị của biểu thức  $$ \frac{1}{2+\sqrt{3}}+\frac{1}{2-\sqrt{3}} $$  bằng:

(A)  $$ \frac{1}{2} $$  ;                                      (B)  $$ 1 $$   ;                                      (C)  $$ -\,4 $$ ;                             (D)  $$ 4 $$ .

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Lời giải:

-Chọn   (D).

Vì  $$ \frac{1}{2+\sqrt{3}}+\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}}{\left( 2+\sqrt{3} \right)\left( 2-\sqrt{3} \right)}=\frac{4}{{{2}^{2}}-{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}=\frac{4}{4-3}=4 $$ .

 $$  $$