Bài 35 trang 122 Toán 9 Tập 1

Bài 35 (trang 122 SGK Toán 9 Tập 1): Điền vào các ô trống trong bảng, biết rằng hai đường tròn (O; R) và (O'; r) có

OO' = d, R < r.

Lời giải:

Ta có bảng sau:

Bài 36 trang 123 Toán 9 Tập 1

Bài 36 (trang 123 SGK Toán 9 Tập 1): Cho đường tròn tâm O bán kính OA và đường tròn đường kính OA.

a) Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.

b) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C. Chứng minh rằng AC = CD.

Lời giải:

a) Gọi O là tâm của đường tròn bán kính OA, O' là tâm của đường tròn đường kính OA. Ta có:

\[OO'=OA=O'A\].

Vậy (O') tiếp xúc trong với (O).

b) Cách 1:

\[O'A=O'C\] (bán kính) nên \[\Delta O'AC\] cân tại O'.

\[OA=OD\] (bán kính) nên \[\Delta OAD\] cân tại O.

Hai tam giác cân \[AO'C\] và \[AOD\] có chung góc ở đỉnh nên  $$ \widehat{ACO'}=\widehat{D} $$ .

Suy ra \[O'C//OD\] (có hai góc bằng nhau ở vị trí so le trong).

\[\Delta OAD\] có \[AO'=O'O\] và \[O'C//OD\] nên \[AC=CD\] (đpcm).

- Cách 2:

 $$ \Delta ACO $$  có đường trung tuyến CO’ bằng  $$ \frac{1}{2} $$ AO nên  $$ \widehat{ACO}={{90}^{o}} $$ .

 $$ \Delta AOD $$  cân tại O có OC là đường cao nên là đường trung tuyến.

Suy ra  $$ AC=CD\, $$  (đpcm). 

Bài 37 trang 123 Toán 9 Tập 1

Bài 37 (trang 123 SGK Toán 9 Tập 1): Cho hai đường tròn đồng tâm O. Dây AB của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C và D. Chứng minh rằng AC = BD.

Lời giải:

Giả sử vị trí các điểm theo thứ tự là A, C, D, B.

Kẻ OH ⊥ CD. Theo tính chất đường kính vuông góc với một dây ta có:

    HA = HB, HC = HD.

Khi đó: AC = HA – HC = HB – HD = BD.

Vậy AC = BD.

(Trường hợp vị trí các điểm theo thứ tự là A, D, C, B chứng minh tương tự).

Bài 38 trang SGK Toán 9 Tập 1

Bài 38 (trang 123 SGK Toán 9 Tập 1): Điền các từ thích hợp vào chỗ trống (...):

a) Tâm của các đường tròn có bán kính 1cm tiếp xúc ngoài với đường tròn (O; 3cm) nằm trên ...

b) Tâm của các đường tròn có bán kính 1cm tiếp xúc trong với đường tròn (O; 3cm) nằm trên ...

Lời giải:

a) Tâm của các đường tròn có bán kính 1cm tiếp xúc ngoài với đường tròn (O; 3cm) nằm trên đường tròn (O; 4cm).

b) Tâm của các đường tròn có bán kính 1cm tiếp xúc trong với đường tròn (O; 3cm) năm trên đường tròn (O; 2cm).

Bài 39 trang SGK Toán 9 Tập 1

Bài 39 (trang 123 SGK Toán 9 Tập 1): Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A, Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B ϵ (O), C ϵ (O'). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC ở I.

a) Chứng minh rằng  $$ \widehat{BAC}={{90}^{o}} $$;

b) Tính số đo góc OIO';

c) Tính độ dài BC, biết OA = 9cm, O'A = 4cm.

Lời giải:

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta được  $$ IA=IB,\,\,IA=IC. $$  

 $$ \Delta ABC $$  có đường trung tuyến  $$ AI=\frac{1}{2}BC $$  nên  $$ \Delta ABC $$  là tam giác vuông.

Vậy  $$ \widehat{BAC}={{90}^{o}} $$  (đpcm).

b)  Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có IO, IO' là các tia phân giác của hai góc kề bù \[\widehat{AIB}\], \[\widehat{AIC}\]  nên

 $$ \widehat{OIO'}=\widehat{OIA}+\widehat{O'IA}=\frac{1}{2}\widehat{AIB}+\frac{1}{2}\widehat{AIC}=\frac{1}{2}\left( \widehat{AIB}+\widehat{AIC} \right)={{90}^{o}} $$ .

Vậy  $$ \widehat{OIO'}={{90}^{o}}. $$   

c) \[\Delta OIO'\] vuông tại I có IA là đường cao nên theo hệ thức giữa cạnh và đường cao ta có:

    \[I{{A}^{2}}=AO.AO'=9.4=36\]

\[\Rightarrow \,\,IA=6\left( cm \right).\]

Vậy \[BC=2.IA=2.6=12\left( cm \right).\]

Bài 40 trang 123 Toán 9 Tập 1

Bài 40 (trang 123 SGK Toán 9 Tập 1): Đố. Trên các hình 99a, 99b, 99c, các bánh xe tròn có răng cưa được khớp với nhau. Trên hình nào hệ thống bánh răng chuyển động được? Trên hình nào hệ thống bánh răng không chuyển động được?

Lời giải:

Vì nếu hai đường tròn tiếp xúc ngoài thì hai bánh xe quay theo hai chiều khác nhau (một bánh xe quay cùng chiều quay của kim đồng hồ, bánh xe kia quay ngược chiều của kim đồng hồ). Nếu hai đường tròn tiếp xúc trong thì hai bánh xe quay theo chiều như nhau. Do đó:

- Hình a, b hệ thống bánh răng chuyển động được.

- Hình c, hệ thống bánh răng không chuyển động được.