Câu hỏi ôn tập chương 1 - Hình học

Câu hỏi ôn tập chương 1 (Trang 91, 92 SGK Toán 9 tập 1):

1 (trang 91 SGK Toán 9 Tập 1):  Cho hình 36. Hãy viết hệ thức giữa:

a) Cạnh huyền, cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền.

b) Các cạnh góc vuông p, r và đường cao h.

c) Đường cao h và hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền p', r'

Lời giải:

a) \[{{p}^{2}}=p'.q;{{r}^{2}}=r'.q\]

b)  $$ \frac{1}{{{h}^{2}}}=\frac{1}{{{r}^{2}}}+\frac{1}{{{p}^{2}}} $$  

c) \[{{h}^{2}}=p'.r'\]

2 (trang 91 SGK Toán 9 Tập 1): Cho hình 37.

a) Hãy viết công thức tính các tỉ số lượng giác của góc α

b) Hãy viết hệ thức giữa các tỉ số lượng giác của góc α và các tỉ số lượng giác của góc β.

Lời giải:

a)  $$ \sin \alpha =\frac{b}{a}\,;\,\,\cos \alpha =\frac{c}{a} $$ ;    $$ tg\alpha =\frac{b}{c}\,;\, $$   $$ \cot \alpha =\frac{c}{b}. $$  

b) Vì   $$ \alpha +\beta ={{90}^{o}} $$  nên ta có:

 \[\sin \alpha =\cos \beta \,\,;\,\,\,\,\cos \alpha =\sin \beta \,\,;\] \[tg\alpha =\cot g\beta \,\,;\,\,\cot g\alpha =tg\beta \].

3 (trang 91-92 SGK Toán 9 Tập 1): Xem hình 37 ở trên.

a) Hãy viết công thức tính các cạnh góc vuông b và c theo cạnh huyền a và tỉ số lượng giác của các góc α, β.

b) Hãy viết công thức tính mỗi cạnh góc vuông theo cạnh góc vuông kia và tỉ số lượng giác của các góc α, β.

Lời giải:

a) b = asin α = acosβ; c = asinβ = acosα

b) b =c. tgα = c.cotgβ ;  c = b.tgβ = b.cotgα.

4 (trang 92 SGK Toán 9 Tập 1): Để giải một tam giác vuông, cần biết ít nhất mấy góc và cạnh? Có lưu ý gì về số cạnh?

Lời giải:

Để giải một tam giác vuông cần biết hai cạnh hoặc biết một cạnh và một góc nhọn.

Như vậy để giải một tam giác vuông cần có ít nhất là một yếu tố là cạnh.                                   

Bài 33 trang 93 SGK Toán 9 tập 1

Bài 33 (trang 93 SGK Toán 9 tập 1): Chọn kết quả đúng trong các kết quả dưới đây:

Lời giải:

a) Chọn (C).  $$ \sin \alpha =\frac{3}{5} $$ .

b) Chọn (D).

Xét tam giác PRQ vuông tại R, ta có:  $$ \sin Q=\frac{PR}{PQ} $$ .

Xét tam giác SRQ vuông tại S, ta có:  $$ \sin Q=\frac{SR}{RQ} $$ .

c)  Chọn (C).

 $$ \cos {{30}^{o}}=\frac{\sqrt{3}a}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}. $$    

Bài 34 trang 93 SGK Toán 9 tập 1

Bài 34 (trang 93 SGK Toán 9 tập 1):

Lời giải:
a)  Chọn (C).
Vì  $$ \sin \alpha =\frac{a}{b}\,\,; $$   $$ tg\alpha =\frac{a}{c}\,\,; $$   $$ \cot g\,\alpha =\frac{c}{a} $$ .
b) Chọn (C).
Vì hệ thức đúng là:  $$ \sin ({{90}^{o}}-\alpha )=\cos \alpha  $$ .
 

Bài 35 trang 94 SGK Toán 9 tập 1

Bài 35 (trang 94 SGK Toán 9 tập 1): Tỉ số giữa hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông bằng 19 : 28. Tìm các góc của nó.

Lời giải:

Gọi  $$ \alpha  $$  là góc nhọn của tam giác vuông đó.

Ta có:  $$ tg\alpha =\frac{19}{28}\,\,\,\Rightarrow \,\,\alpha \,\approx {{34}^{o}} $$ .

Góc nhọn còn lại là:  $$ {{90}^{o}}-{{34}^{o}}={{56}^{o}} $$ .

(Lưu ý: Bạn cũng có thể sử dụng cotg để tính, nhưng cũng sẽ cho kết quả tương tự bởi do tính chất của 2 góc phụ nhau.)

Bài 36 trang 94 SGK Toán 9 tập 1

Bài 36 (trang 94 SGK Toán 9 tập 1): Cho tam giác có một góc bằng \[{{45}^{o}}.\] Đường cao chia một cạnh kề với góc đó thành các phần 20cm và 21 cm. Tính cạnh lớn trong hai cạnh còn lại (lưu ý có hai trường hợp hình 46 và hình 47).

Lời giải:

- Trường hợp hình 46: cạnh lớn trong hai cạnh còn lại được kí hiệu là x.

\[\Delta HAB\] vuông cân tại H vì có  $$ \widehat{B}={{45}^{o}} $$   

\[\Rightarrow HA=HB=20\].

Áp dụng định lí Pytago trong \[\Delta HAC\]  có:

\[{{x}^{2}}=A{{C}^{2}}=H{{A}^{2}}+H{{C}^{2}}={{20}^{2}}+{{21}^{2}}=841\]

\[\Rightarrow x=29\] hay độ dài cạnh lớn trong hai cạnh còn lại là 29.

- Trường hợp hình 47: cạnh lớn trong hai cạnh còn lại được kí hiệu là y.

\[\Delta H'A'B'\] cân vì có  $$ \widehat{B'}={{45}^{o}} $$  

\[\Rightarrow \,\,H'A'=H'B'=21\].

Áp dụng định lí Pytago trong \[\Delta H'A'B'\]  có:

\[{{y}^{2}}=A'B{{'}^{2}}=H'A{{'}^{2}}+H'B{{'}^{2}}={{21}^{2}}+{{21}^{2}}={{2.21}^{2}}\]

\[\Rightarrow \,\,y=21\sqrt{2}\] hay độ dài cạnh lớn trong hai cạnh còn lại là  $$ 21\sqrt{2} $$ .

Bài 37 trang 94 SGK Toán 9 tập 1

Bài 37 (trang 94 SGK Toán 9 tập 1):

Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm.

a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. Tính các góc B, C và đường cao AH của tam giác đó.

b) Hỏi rằng điểm M mà diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC nằm trên đường nào?

Lời giải:

a) Ta có: \[A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{6}^{2}}+4,{{5}^{2}}=7,{{5}^{2}}=B{{C}^{2}}\]

 $$ \Rightarrow  $$  tam giác ABC vuông tại A. (đpcm).

Ta có:  $$ tgB=\frac{AC}{AB}=\frac{4,5}{6}=\frac{3}{4} $$   $$ \Rightarrow \,\,\widehat{B}\,\approx \,{{37}^{o}} $$ .

 $$ \widehat{C}={{90}^{o}}-\widehat{B}={{90}^{o}}-{{37}^{o}}={{53}^{o}}. $$  

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC với đường cao AH ta có:

 $$ \frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}=\frac{1}{{{6}^{2}}}+\frac{1}{4,{{5}^{2}}}=\frac{25}{324} $$  

 $$ \Rightarrow \,\,A{{H}^{2}}=\frac{324}{25}=12,96\,\,\Rightarrow \,\,AH=3,6\,(cm). $$  

b) Gọi khoảng cách từ M đến BC là MK. Ta có:

 $$ {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AH.BC $$  ;   $$ {{S}_{MBC}}=\frac{1}{2}MK.BC $$ .

Để  $$ {{S}_{ABC}}={{S}_{MBC}} $$  thì  $$ AH=MK=3,6cm $$ .

Vậy để \[{{S}_{MBC}}={{S}_{ABC}}\] thì M phải nằm trên đường thẳng song song và cách BC một khoảng là 3,6 cm (có hai đường thẳng như trên hình vẽ).

Bài 38 trang 94 SGK Toán 9 tập 1

Bài 38 (trang 95 SGK Toán 9 tập 1): Hai chiếc thuyền A và B ở vị trí được minh họa như trong hình 48. Tính khoảng cách giữa chúng (làm tròn đến mét).

Lời giải:

Trong tam giác vuông BIK có:

\[IB=IK.tg\widehat{IKB}=IK.tg({{50}^{o}}+{{15}^{o}})=380.tg{{65}^{o}}\approx 815\left( m \right)\].

Trong tam giác vuông AIK có:

\[IA=IK.tg\widehat{IKA}=IK.tg{{50}^{o}}=380.tg{{50}^{o}}\approx 453\left( m \right)\].

Vậy khoảng cách giữa hai thuyền là:

\[AB=IB - IA=815 - 453 = 362(m)\].

Bài 39 trang 95 SGK Toán 9 tập 1

Bài 39 (trang 95 SGK Toán 9 tập 1):

Tìm khoảng cách giữa hai cọc để căng dây vượt qua vực trong hình 49 (làm tròn đến mét).

Lời giải:

Kí hiệu như hình vẽ.

Trong tam giác vuông ABC vuông tại A, ta có:

\[AB=AC\tan {{50}^{o}}=20.\tan {{50}^{o}}\approx 24m\].

\[BH=AB-AH=24-5=19\,(m).\]

Trong tam giác vuông BHD:

   $$  BD=\frac{BH}{\sin {{50}^{o}}}=\frac{19}{\sin {{50}^{o}}}\approx 25\,\,(m).  $$  

Vậy khoảng cách giữa hai cọc là 25 m.

Bài 40 trang 95 SGK Toán 9 tập 1

Bài 40 (trang 95 SGK Toán 9 tập 1): Tính chiều cao của cây trong hình 50 (làm tròn đến đề-xi-mét).

Lời giải:

Kí hiệu như hình vẽ.

Trong tam giác vuông ABC có:

\[AC=AB.\tan {{35}^{o}}=30.\tan {{35}^{o}}\approx 21\left( m \right)\].

Chiều cao của cây là:

\[CH=CA+AH\approx 21+1,7\approx 22,7\left( m \right)\].

Vậy chiều cao của cây là 22,7 (m) (hoặc = 227 dm).

Bài 41 trang 96 SGK Toán 9 tập 1

Bài 41 (trang 96 SGK Toán 9 tập 1): Tam giác ABC vuông tại C có \[AC=2cm,BC=5cm\],

 $$ \widehat{BAC}=x\,,\,\,\widehat{ABC}=y $$ . Dùng các thông tin sau (nếu cần) để tìm \[x - y:\]

\[\sin {{23}^{o}}36'\approx 0,4\];

\[\cos {{66}^{o}}24'\approx 0,4\];

\[tg{{21}^{o}}48'\approx 0,4\].

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại C ta có:

 $$ tg\,y=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{5}=0,4\approx \,tg{{21}^{o}}48' $$  

 $$ \Rightarrow \,\,y={{21}^{o}}48' $$.

 $$ x={{90}^{o}}-y={{90}^{o}}-{{21}^{o}}48'={{68}^{o}}12' $$ .

Vậy  $$ x-y={{68}^{o}}12'-{{21}^{o}}48'={{46}^{o}}24' $$.   

Bài 42 trang 96 SGK Toán 9 tập 1

Bài 42 (trang 96 SGK Toán 9 tập 1): Ở một cái thang dài 3m người ta ghi: "Để đảm bảo an toàn khi dùng thang, phải đặt thang này tạo với mặt đất một góc có độ lớn từ 60^o đến 70^o". Đo góc thì khó hơn đo độ dài. Vậy hãy cho biết: Khi dùng thang đó chân thang phải đặt cách tường khoảng bao nhiêu mét để đảm bảo an toàn?

Lời giải:

Kí hiệu như hình vẽ.

Trong tam giác vuông ABC có:

\[AC=BC.\cos C=3.\cos C\].

Vì phải đặt thang tạo với mặt đất một góc \[{{60}^{o}}\]  đến \[{{70}^{o}}\]  nên \[{{60}^{o}}\le \widehat{C}\le {{70}^{o}}\]

\[\Rightarrow \,\,\cos {{70}^{o}}\le \cos C\le \cos {{60}^{o}}\]

\[\Rightarrow \,\,3.\cos {{70}^{o}}\le 3.\cos C\le 3.\cos {{60}^{o}}\]

\[\Rightarrow \,\,1,03\le AC\le 1,5\].

 Vậy phải đặt chân thang cách tường từ 1,03 m đến 1,5 m.

Bài 43 trang 96 SGK Toán 9 tập 1

Bài 43 (trang 96 SGK Toán 9 tập 1): Đố

Vào khoảng năm 200 trước Công Nguyên, Ơratôxten, một nhà toán học và thiên văn học Hi Lạp, đã ước lượng được "chu vi" của Trái Đất (chu vi đường Xích Đạo) nhờ hai quan sát sau:

1) Một ngày trong năm, ông ta để ý thấy Mặt Trời chiếu thẳng các đáy giếng ở thành phố Xy-en (nay gọi là At-xu-an), tức là tia sáng chiếu thẳng đứng.

2) Cùng lúc đó ở thành phố A-lếch-xăng-đri-a cách Xy-en 800km, một tháp cao 25m có bóng trên mặt đất dài 3,1m.

Từ hai quan sát trên, em hãy tính xấp xỉ "chu vi" của Trái Đất.

(Trên hình 51 điểm S tượng trưng cho thành phố Xy-en, điểm A tượng trưng cho thành phố A-lếch-xăng-đri-a, bóng của tháp trên mặt đất được coi là đoạn thẳng AB).

Lời giải:

Gọi c là chu vi Trái đất, góc  $$ \widehat{AOS}=\alpha  $$   

Ta có:  $$ c=AS.\frac{{{360}^{o}}}{{{\alpha }^{o}}}=800.\frac{{{360}^{o}}}{{{\alpha }^{o}}} $$  .

Vì các tia sáng chiếu thẳng đứng nên BC // SO.  Do đó:

 $$ \widehat{AOS}=\widehat{ACB} $$  (so le trong).

Trong tam giác ABC vuông tại A có:

 $$ tgC=\frac{AB}{AC}=\frac{3,1}{25}\,\approx 0,124\,\,\Rightarrow \,\widehat{C}\approx \,7,{{07}^{o}} $$  

Vì  $$ \widehat{AOS}=\widehat{ACB} $$  nên  $$ \alpha \approx 7,{{07}^{o}} $$ .

Vậy chu vi Trái đất là:

 $$ c=800.\frac{{{360}^{o}}}{7,{{07}^{o}}}\approx 40735,5(km). $$